12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.

Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).    2. В n-мерном пространстве окрестность точки – любая область, содержащая данную точку. В частности совокупность точек М(х₁; х₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют неравенству , называется шаровой (сферической) δ-окрестностью точки А(а₁; а₂; …; а_n) – окрестностью радиуса δ. Иначе говоря, указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве (открытый) шар радиуса δ с центром в точке А.     Множество точек М(х₁; х₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют системе неравенств н азывается параллелепипедальной окрестностью точки А(а1; а2; …; аn). Иначе: указанное множество точек М образует в n-мерном пространстве параллелепипед

с центром в точке А.

3. Окрестность точки А в метрическом пространстве – любая область, содержащая точку А. В частности все точки М, расстояние от которых до точки А меньше некоторого положительного числа δ, образуют ее (т.е. точки А) сферическую окрестность радиуса δ с центром в точке А.

Внутренняя точка

1. Внутренняя точка множества действительных чисел – точка, некоторая открытая окрестность которой целиком состоит из точек данного множества.

Пример

Точка 0,75 – внутренняя точка отрезка [0; 1]: ее окрестность (0,7; 0,8) целиком лежит в этом отрезке.

2. Аналогично определяется внутренняя точка множества точек некоторого (метрического) пространства – это точка, содержащаяся в этом множестве вместе с некоторой открытой окрестностью.

Замкнутое множество

Определение Пусть дано топологическое пространство  . Множество   называется замкнутым относительно топологии  , если существует открытое множество   такое что  .

Операция замыкания

Замыканием множества   топологического пространства   называют минимальное по включению замкнутое множество  содержащее  . Замыкание множества   обычно обозначается  ,   или   если надо подчеркнуть что  рассматривается как множество в пространстве  .

Критерий замкнутости

Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий:  .

Примеры

Пустое множество   всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).

Отрезок   замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.

Множество   замкнуто в пространстве рациональных чисел  , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел  .

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. 

Евклидово пространство

Пусть   есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда   называется открытым, если   такое что  , где   — ε-окрестность точки   Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство

Пусть   — некоторое метрическое пространство, и  . Тогда   называется открытым, если   такое что  , где   — ε-окрестность точки  относительно метрики  .

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство   по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств   —«топологию», определённую на  . Подмножество  , такое, что оно является элементом топологии (то есть  ), называется открытым множеством относительно топологии  .