8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.

Расширенное множество действительных чисел

Множество  , состоящее из элементов множества R и двух символов -∞ и +∞, называется расширенной системой действительных чисел; причем выполняются следующие условия:

а)  ;

б) если a > 0, то  ;

в) если a < 0, то  .

Символ -∞ (+∞) называется минус (плюс) бесконечностью.

Аксиомы сложения  На множестве вещественных чисел, обозначаемом через   (так называемую R рубленую), введенаоперация сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.

1.  (коммутативность сложения);

2.  (ассоциативность сложения);

3.  (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);

4.  (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения На   введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент   (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.

1.  (коммутативность умножения);

2.  (ассоциативность умножения);

3.  (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);

4.  (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения 

1.  (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка На   задано отношение порядка « » (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из   выполняется хотя бы одно из условий   или  .

1. ;

2. ;

3. .

Связь отношения порядка и сложения

1. .

Связь отношения порядка и умножения 

1. .

Аксиома непрерывности 

Следствия аксиом 

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например, единственность нуля, противоположного и обратного элементов.

9. Пиано постулаты и принцип математической индукций.

Словесная

1. 1 является натуральным числом;

2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;

3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;

4. Если натуральное число   непосредственно следует как за числом  , так и за числом  , то   и  тождественны;

5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа  , вытекает, что оно верно для следующего за   натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Введём функцию  , которая сопоставляет числу   следующее за ним число.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Или так:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

1. 

2. 

3. 

4. 

Принцип полной математической индукции

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений  ,  ,  ,  . Если для любого натурального   из того, что истинны все  ,  ,  ,  ,  , следует также истинность  , то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть  .

В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при   импликация  эквивалентна  . Принцип полной математической индукции является прямым применением более сильнойтрансфинитной индукции.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.