Определение
Пусть
— алгебра над кольцом 
.
Дифференцирование алгебры
—
это
-линейное
отображение 
,
удовлетворяющее тождеству Лейбница:
В
более общем случае дифференцирование
коммутативной
со
значениями в
-модуле
—
это
-линейное
отображение 
,
удовлетворяющее тождеству Лейбница. В
этом случае
называют дифференциальным
модулем над
Множество
всех дифференцирований со значениями
в
обозначается 
(
, 
)
и является
-модулем. Функтор 
является представимым,
его представляющий объект
обозначается 
или 
и
называется модулем кэлеровых
дифференциалов.
является
начальным объектом в категории
дифференциальных модулей над
,
то есть существует такое дифференцирование 
,
что любое дифференцирование 
пропускается
через 
:
Свойства
имеет
естественную структуру алгебры Ли: 
Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если — алгебра с единицей, то для любого -модуля
Здесь 
—
модуль дифференциальных операторов 1
порядка из
в
.
является функтором из
в 
.
37. Дифференцирование сложной функции.
Одномерный случай
Пусть
даны функции, определённые в окрестностях
на числовой прямой, 
где 
и 
Пусть
также эти функции дифференцируемы: 
Тогда
их композиция также дифференцируема: 
и
её производная имеет вид:
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал
функции 
в
точке 
имеет
вид:
где 
—
дифференциал тождественного отображения 
:
Пусть
теперь 
Тогда 
,
и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пример
Пусть 
Тогда
функция 
может
быть записана в виде композиции 
где
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
Многомерный случай
Пусть
даны функции 
где
и 
Пусть
также эти функции дифференцируемы: 
и 
Тогда
их композиция тоже дифференцируема, и
её дифференциал имеет вид
В
частности, матрица Якоби функции
является
произведением матриц Якоби функций
и 
Следствия
Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
Формула Фаа-ди-Бруно
Формула имеет следующий комбинаторный вид:
где
π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
"B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и
|A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).
38. Односторонние производные функции.
Односторонние производные
Правосторонний предел
называется правосторо́нней произво́дной или произво́дной спра́ва и обозначается символами
Аналогично, левосторонний предел
называется левосторо́нней произво́дной или произво́дной сле́ва и обозначается символами
Пусть
дана функция 
Тогда
существует конечная производная 
тогда
и только тогда, когда существуют конечные
и равные односторонние производные 
,
так как по свойству пределов функции,
согласно которому для существования
предела необходимо, чтобы оба его
односторонних предела существовали и
были равны, имеем: если 
,
то существует 
,что
является производной функции в точке 
,
при этом 
.
Пример
Рассмотрим линейную функцию 
.
Тогда 
, 
и 
при
любом
.
Получаем, что для линейной функции
производная в любой точке равна угловому
коэффициенту 
.
(Что неудивительно: ведь касательная к
прямой, служащей графиком линейной
функции, -- это та же самая прямая, а
угловой коэффициент касательной равен
производной!) В частности, при 
получаем,
что производная любой постоянной, то
есть функции 
,
равна 0:
|
(4.5) |
а
при 
и 
получаем,
что
|
(4.6) |
