Лекция №9 5.03.2012

Математическое моделирование

Модель - это физическая система, либо математическое описание отображающие существенные свойства или характеристики изучаемого объекта, процесса или явления.

В свою очередь моделирование - это форма эксперимента, заключающаяся в исследовании объектов на его модели.

Моделирование в зависимости от объекта и цели его изучения может быть:

1. Предметным – суть данного типа моделирования заключается в воспроизведении процесса или явления с сохранением его физической природы, в основе лежит теория подобия;

2. Предметно-математическое – в данном случае вместо исследуемого явления изучают других физические явления, описываемые теми же математическими соображениями, что и исходное явление;

3. Знаковое – это разновидность математического моделирования;

№1 Математическая модель

Математическая модель – это приближенное описание, какого либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Одним из основных свойств математического моделирования является цикличность. Процедура переводящие предположение о проблеме, ситуации или явление в математическое выражение и затем анализирующая проблему, при помощи математических средств, называется математическим моделированием.

Математическое моделирование – это непрерывно продолжающийся процесс, в котором простые модели заменяются на все более усложняющиеся.

Процесс математического моделирования:

Построение математической модели любого процесса, можно разбить на 4 этапа:

1. Индуктивный. На этом этапе угадывается только общая закономерность и общая картина, полученная из ряда частных случаев. То есть полной уверенности. Исходя из выше сказанного - не может существовать единственной модели.

2. Дедуктивный. На основе принятых допущений и хорошо известных правил приходят к определенным заключениям. Заключения бывают 2х видов: 1й - явление относится к ранее наблюдаемым ситуациям, носит объективный характер; 2й - явление относится к новым, ранее не наблюдаемым ситуациям и носит прогнозный характер. Из этого метода вытекает 2 преимущества математического моделирования:

   • всегда можно оценить корректность принимаемых допущений;

   • когда математические задачи слишком трудны для решения - анализ модели может быть проведен с помощью ЭВМ;

3. Переход от математических выводов к следствиям для реального мира. Этот этап более легкий, чем первый, и зависит от тщательность выполнения первого этапа;

4. Сбор информации о реальном мире. Он заключается в уточнение информации о реальном мире;

В зависимости от сферы применения модели математически модели могут быть более и менее точными.

№2 Математическое моделирование и классификация математических моделей.

В самом примитивном случаи модель служит для перевода неточных понятий в точные. Такой процесс называется экспликацией.

Математические модели бывают детерминированными и вероятностными. Детерминированные модели дают точный прогноз, а вероятностные прогноз о том, что некоторое событие произойдет в определенный отрезок времени и с определенной вероятностью. Модели так же могут быть преспретивными и деспритиными. Преспректиные модели описывают как некоторое лицо, группу, общество, правительство должны себя вести в некоторой идеализированной ситуации. Деспрективные модели описывают, как перечисленные объекты ведут себя в действительности.

Преимуществом математических моделей является наличие мощного дедуктивного подхода в математике. А недостатком является необходимость наличие опыта и знания реальной ситуации, а так же математического аппарата.

На практике математическое моделирования объекта исследований должно включать следующий этап:

1. Формализацию исходной проблемы. На данном этапе происходит описание возможных альтернативных решений, определения целевой функции и построение системы ограничений накладываемых на возможные решения.

2. Построение математической модели. На этом этапе описание происходит с помощью четкого языка математических соотношений и существует алгоритмом.

3. Решение модели. На этом этапе происходит получение дополнительной информации о поведении оптимального решения и производится уточнение значение первоначальных оценок параметра модели.

4. Поверка адекватности модели. На этом этапе производится проверка правильности модели, то есть определяется, соответствует ли поведение модели в определенных ситуациях поведению исходной реальной системы.

5. Реализация решений. Подразумевается перевод результатов решения модели в рекомендации представленные в форме понятной для лиц принимающих решения.

№3 Математическое моделирование и исследование математических операций.

При исследовании операций описываемую ситуацию рассматривают как задачу принятия решений. В этом случаи для нахождения принятия решения определяют три основных компонента: альтернативное решение, ограничение и критерий отбора альтернативных решений. Решением математической модели в таком случаи будет набор значений переменных, который оптимизирует целевую функцию и удовлетворит всем ограничениям. Такой набор называется оптимальным допустимым решением.

№4 Методы исследования операций.

В моделях исследование операций используют переменные, от которых зависят ограничения и целевая функция. По этому для оптимизации ограничения целевой функции используют различные методы. К методам относятся:

• Метод линейного программирования;

• Метод динамического программирования;

• Метод целочисленного -//-

• Метод нлинейного программирования;

• Метод многокритериальной оптимизации;

• Метод сетевой модели;

№5 Имитационное моделирование.

Лекция №10 14.03.2012