2.Коды Хэмминга, Файра и бчх. Коды Хэмминга

Коды, предложенные Р. Хэммингом, обладают способностью обнаружить и исправить одиночные ошибки.

Предположим, что имеется код, содержащий m информационных разрядов и k контрольных раз­рядов. Запись на k позиций определяеется при проверке на четность каждой из проверяемых k групп информационных символов. Пусть было проведено k проверок. Если результат проверки свидетельствует об отсутствии ошибок, запишем 0, если есть ошибка - 1. Запись полученной по­следовательности символов образует двоичное число.

Свойство кодов Хэмминга таково, что контрольное число указывает номер позиции, где про­изошла ошибка. При отсутствии ошибки в коде данная последовательность будет содержать только нули. Полученное число описывает таким образом n=(m+k+1) событий. Следовательно, справедливо неравенство

2k>=(m+k+1)

(1)

Определить максимальное значение m для заданого n можно из следующего:

n	1	2	3	4...	8...15	16...31	32...63	64
m	0	0	1	1...	4...11	11...26	26...57	57
k	1	2	2	3	4	5	6	7

Определим теперь позиции, которые надлежит проверить в каждой из k проверок. Если в кодовой комбинации ошибок нет, контрольное число содержит только нули. Если в первом разряде кон­трольного числа стоит 1, это означает, что в результате первой проверки обнаружена ошибка. Первая проверка охватывает позиции 1, 3, 5, 7, 9, ... (в двоичной записи этих чисел младший раз­ряд равен 1). Вторая проверка - 2, 3, 6, 7, 10...

Проверка N	Проверяемые разряды
1	1, 3, 5,7, 9, 11, 13, 15, ...
2	2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, ...
3	4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23
4	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, ...
...	...

Для контроля будем использовать позиции 1,2,4,8,..., так как в данные позиции встречаются только в одной проверяемой группе символов.

Примеры кодирования информации по коду Хемминга для семиразрадного кода:

Разряды двоичного числа							Кодируемая десятичная информация
1 k1	2 k2	3 m1	4 k3	5 m2	6 m3	7 m4
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	0	0	1	1
0	1	0	1	0	1	0	2
1	0	0	0	0	1	1	3
1	0	0	1	1	0	0	4
0	1	0	0	1	0	1	5
1	1	0	0	1	1	0	6
0	0	0	1	1	1	1	7
1	1	1	0	0	0	0	8
0	0	1	1	0	0	1	9
1	0	1	1	0	1	0	10
0	1	1	0	0	1	1	11
0	1	1	1	1	0	0	12
1	0	1	0	1	0	1	13
0	0	1	0	1	1	0	14
1	1	1	1	1	1	1	15

Как видно из таблицы, n=7, m=4, k=3 и контрольными будут разряды 1, 2, 4.

Введем, например, одиночную ошибку в код числа 5 - 0100101₍₂₎. Пусть после такой ошибки код стал 0110101. Подсчитываем суммы по модулю групп цифр и выписываем справа налево: 0011. Получилось ненулевое число, равное номеру позиции, в которой возникла ошибка (3).

По методу Хэмминга могут быть построены коды разной длины. Чем больше длина кода, тем меньше относительная избыточность. Например, для контроля 48-разрядного числа, потребуется только шесть дополнительных (контрольных) разрядов. Коды Хэмминга используют в основном для контроля передачи информации по каналам связи.

Код Файра

Наиболее известным циклическим кодом, исправляющим одиночные пачки ошибок, явля­еться двоичный код Файра, причем для этого требуется небольшое число проверочных симво­лов. Образующий полином данного кода P(x) = q(x) (x^c+1), где q(x) – неприводимый многочлен сте­пени t, принадлежащий степени m; с – простое число, которое не делиться на m безостатка. Многочлен q(x) принадлежит некоторой степени m, если m – наименьшее положительное число такое, что двучлен (x^m+1) делится на q(x) без остатка. Для любого t существует, по крайней мере, один неприводимый многочлен q(x) степени t, принадлежащий показателю степени m = 2^t-1

Например, если q(x) = x³+x²+1 (t=3), то m = 2^t – 1 = 7 и число c может принимать значения, кото­рые не делятся на семь, т.е. 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23 и т.д. Длина кода Файра равна наименьшему общему кратному чисел c и m т.е. n = НОК (c, m)

Число проверочных информационных символов k= n- c –t

Можно получить код меньший длины с тем же числом проверочных символов, если пользоваться методом получения укороченных циклических кодов. При использовании кодов Файра можно исправить любую одиночную пачку ошибок длины b или меньше и одновременно об­наружить любую пачку ошибок длины l >= b или меньше , если c>=b+l-1 и t>=b. Если применять эти коды только для обнаружения ошибок, можно обнаружить любую комбина­цию из двух пачек ошибок, длина наименьшей из которых не превосходит t, а сумма длин обеих пачек не превосходит (с+1), а также любую одиночную пачку ошибок с длиной, не превосходящей числа проверочных символов r = c + t.

Коды БЧХ

Одним из классов циклических кодов, способных исправлять многократные ошибки, являются коды БЧХ.

Примитивным кодом БЧХ, исправляющим t_u ошибок, называется код длиной n=q^m-1 над GF(q), для которого элементы являются корнями порождающего многочлена.

Здесь а - примитивный элемент GF(q^m).

Порождающий многочлен определяется из выражения

где f₁(x),f₂(x)...- минимальные многочлены корней g(x).

Число проверочных элементов кода БЧХ удовлетворяет соотношению

На практике при определении значений порождающего многочлена пользуются специальной таб­лицей минимальных многочленов (см. таблицу 8 приложения), и выражением для порождающего многочлена При этом работа осуществляется в следующей последова­тельности.

По заданной длине кода n и кратности исправляемых ошибок t_u определяют: - из выражения n=2^m-1 значение параметра m, который является максимальной степенью сомно­жителей g(x); - из выражения j=2t_u-1 максимальный порядок минимального многочлена, входя­щего в число сомножителей g(x).

- пользуясь таблицей минимальных многочленов, определяется выражение для g(x) в зависимости от m и j. Для этого из колонки, соответствующей параметру m, выбираются многочлены с поряд­ками от 1до j, которые в результате перемножения дают значение g(x).

В выражении для g(x) содержаться минимальные многочлены только для нечетных степеней а, так как обычно соответствующие им минимальные многочлены четных степеней а имеют аналогич­ные выражения.

Например, минимальные многочлены элементов соответствуют минимальному мно­гочлену элемента а¹, минимальные многочлены элементов соответствуют мини­мальному многочлену а³ и т.п.