2.5. Производная интеграла по переменной верхней границе.

Определение. Пусть дан интеграл с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х. Тогда величина этого интеграла является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф (х), т. е.

(2.5.1)

и назовем ее интегралом с переменным верхним пределом.

Исходя из геометрического смысла интеграла, функция Ф(х) представляет собой переменную площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х], ограниченной y = f (x), у = 0, t = а и t = x.

Теорема (о связи между производной и интегралом). Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

(2.5.2)

Доказательство:

Возьмем любое значение х [a; b] и придадим ему приращение ∆х ≠ 0, такое, чтобы х+∆х х [a; b], т.е. a ≤ х+ ∆х ≤ b . Тогда функция Ф (х), определенная выражением (2.5.1), получит новое значение:

.

Согласно свойству 6 (см. п. 2.4) определенного интеграла имеем

.

Отсюда находим приращение функции Ф(х):

.

Применяя теорему о среднем (2.4.8) получаем

= f(с) ∆х,

где с − число заключенное между числами х и х+∆х. Разделим обе части равенства на ∆х :

Если теперь ∆х → 0, то с → х, и тогда, в силу непрерывности функции f(х) на [a; b], f(c)→ f(x). Поэтому, переходя к пределу при ∆х → 0 в последнем равенстве, получаем

или ч.т.д.

Замечание. Функция Ф(х) является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f (x). Как известно, всякая другая первообразная для f(x) отличается от Ф(х) на постоянную. Таким образом, связь между определенным и неопределенным интегралами заключается в следующем:

. (2.5.3)

Теорема (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то справедлива формула:

. (2.5.4)

Формула (2.5.4) называется формулой Ньютона – Лейбница.

Доказательство:

Пусть , тогда по теореме о связи между производной и интегралом функция Ф(х) является первообразной для f(x) на [a, b]. Таким образом F(x) и Ф (х) – две первообразные функции f(x) на [a, b]. Так как первообразные отличаются на постоянную, т. е.

Ф(х) = F(x) + C, a  x  b.

то имеет место равенство

Подставляя в это равенство значение х = а и используя свойство (2.4.2), имеем

, т. е. х  [a, b]

Полагая х = b имеем ч.т.д.

Примеры. Вычислить: 1) 2) .

Решение

1) = =64; 2) .

2.6. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл dx, где функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b].

Предположим, что x есть некоторая функция от переменной t, то есть x= (t ). Если выполняются следующие условия:

1. функция x= (t) и ее производная непрерывны при t [α; β] ;

2. множеством значений функций x= (t) при t [α; β] является отрезок [a; b] ;

3. (α) = а и (β)=b, то

dx= (2.6.1)

Замечания.

1. при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки x= (t) применяют подстановку t=g(x);

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение

Пусть x = 2 sint, тогда dx = 2 cost dt.

Определим для новой переменной t пределы интегрирования.

При x = 0 получаем 0 = 2 sin t, откуда t = 0 (нижний предел).

При x = 2 получаем 2 = 2 sin t, откуда t = (верхний предел).

Следовательно, = = =2 = = = π.