10. Интегрирование простейших иррациональных выражений

Указание к №14: предварительно преобразовать подынтегральную функцию так, чтобы под знаком радикала имелась дробно-линейная функция.

§2. Определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл:

§3. Приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х – 1, х =2, х=4 и осью Ох.

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у=х³, прямыми х =1, х=2 и осью Ох.

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми х =1, х=е и осью Ох.

4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой у=х² – 4.

5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой у=х² – 3х.

6) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

7) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=х²–6х+5 и осями координат.

8) Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) в) б)

г) д)

9) Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды

х = a (t – sin t), y = a (1 – cos t ) и осью Ох (рис.12).

10) Найти площадь круга, заданного параметрическими уравнениями: х = r cos t, y = r sin t.

11) Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x =a cos ³ t, y = a sin³ t (рис.13)

1 2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r=a (1+cos ) (рис.14).

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Вычислить длину дуги кривой у = ln x от точки х₁= до точки х­₂ = .

2. Вычислить длину окружности х² + у² = 25.

3) Найти длину дуги кривой , концы которой отсекают абсциссы , и .

4) Вычислить длину астроиды x =a cos ³ t, y = a sin³ t (рис. 13).

5) Вычислить длину окружности х = r cos t, y = r sin t.

6) Найти длину кардиоиды (рис. 3)

3. Вычисление объемов тел вращения

1. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями:

а) у2=8х, у=0, х=2; б) у=х+4, х=0, у=0; в) у=1/х, у=0, х=2, х=3; г) у=х2, у=2х;

д) ху = 5, у=0, х=1, х=5; е) у=2х − х2, у=0; ж) у=− х2 + 3, у=х2 +1.

2) Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

а) ; б) ;

в) и осью Оу.

3) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной аркой циклоиды

х = a (t – sin t), y = a (1 – cos t ) и осью Ох (рис.12).

4) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса

х = а cos t, y = b sin t.

5) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох астроиды

x = a cos ³ t, y = a sin³ t (рис. 13).

4. Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Вычислить длину дуги кривой у = ln x от точки х₁= до точки х­₂ = .

2. Вычислить длину окружности х² + у² = 25.

3) Найти длину дуги кривой , концы которой отсекают абсциссы , и .

4) Вычислить длину астроиды x =a cos ³ t, y = a sin³ t (рис. 13).

5) Вычислить длину окружности x =r cos t, y = r sin t.

6) Найти длину кардиоиды (рис. 14)