1.11Численное решение дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение первого порядка: , где y - неизвестная функция от x. Обычно считается, что это уравнение разрешимо относительно производной, т.е. имеет вид: . Для решения уравнения необходимо задание начальных условий: x = x₀ и y = y₀.

Примером дифференциального уравнения первого порядка является основное уравнение движения поезда: , где r(t) - удельная равнодействующая сила.

Если уравнение имеет вид и заданы начальные условия x = x₀ и y = y₀, то, подставляя значения x₀ и y₀ в функцию , мы найдем величину производной в точке x₀: .

Значение функции: , где x - малое приращение x.

Отсюда значение функции y₁ = y (x₁) = ,

где x₁ = x₀ + x.

Теперь, принимая точку (x1,y1) за исходную, можно точно таким же образом получить точку y₂ = y (x₂) = , где x₂ = x₁ + x. Таким образом, шаг за шагом, можно последовательно вычислять значения функции для различных x. Это - метод Эйлера.

Рис. 1.16 Метод Эйлера

Метод Эйлера (рис. 1.16) основан на предположении о том, что производная остается постоянной на интервале x и равна величине, рассчитанной в начале данного интервала. Пользуясь этим методом, получают не точные, а приближенные значения функции y в связи с тем, что производная изменяется на интервале x. Пользуясь этим методом, мы допускаем ошибку в определении y, причем тем большую, чем больше x.

Геометрический смысл рассматриваемого метода состоит в том, что в каждой точке, последовательно, приращение y рассчитывается по касательной в начальной точке каждого интервала (рис. 1.16). При этом ошибка последовательно накапливается и рассчитанные значения y все более и более «отстают» от действительных или «перегоняют» их.

Более точное решение можно получить, если последовательно принимать значения, , полученные по формуле Эйлера, за первое приближение. Для получения более точного второго приближения будем брать среднее арифметическое производной в начале и конце интервала, вычисляя производную в его конце при помощи первого приближения . Таким образом,

.

При необходимости можно найти следующее (ие) приближение (я).

Такую схему вычислений называют схемой с пересчетом, потому что величина на каждом шаге пересчитывается, заменяется более надежной величиной.

При решении дифференциальных уравнений требуется найти на отрезке [a,b] функцию, удовлетворяющую уравнению и начальному условию . Численное решение заключается в отыскании способа вычисления приближенного значения функции для любого значения аргумента .

В тяговых расчетах решается дифференциальное уравнение движения поезда: .

Необходимо построить кривую скорости на участке (интервале) [a,b].

Разобьем интервал [a,b] на n равных частей. Будем считать, что величина равнодействующей на каждом из полученных отрезков постоянна r_k = const. При трогании поезда со станции его скорость равна 0, т.е. при S=0 - V=0.

Формула метода Эйлера для получения нового значения скорости на элементарном отрезке DS:

При решении уравнения движения поезда, обычно, исходят из преобразованного уравнения движения поезда, при условии постоянства равнодействующей на отрезке DS.

. Внеся V под знак дифференциала, получим:

Применяя формулу метода Эйлера, будем иметь:

.

Рис. 1.17 Построение кривой скорости методом Эйлера и методом с возвратами

На рис. 1.17 показано различие результатов расчетов методом Эйлера (сплошная линия) и методом с возвратами (пунктирная линия). Как видно, метод Эйлера из-за того, что производная определяется только для начала участка, несколько завышает её значение - кривая скорости опережает более точную кривую, построенную методом с возвратами.