1.3 Математическая статистика

Задачи математической статистики состоят в том, чтобы на основании знания некотором свойств подмножества, взятых из некоторого их множества, сделать какие-нибудь утверждения о свойствах этого множества, называемого генеральной совокупностью. В генеральной совокупности нас обычно интересует некоторый признак, который обусловлен случайностью и может иметь качественный или количественный характер.

Интересующий нас параметр некоторой генеральной совокупности может быть представлен в математической модели некоторой случайной величиной Х.

Под случайной выборкой объема n понимается выбор n объектов из генеральной совокупности, причем выбор отдельных объектов производится независимо один от другого. Результатом случайной выборки объема n является совокупность (х₁,.,х_n) значений признака.

Гистограмма и эмпирическая функция распределения

Пусть имеется выборка (х₁,....,х_n) - таблица наблюденных значений - из генеральной совокупности с признаком Х.

Для того чтобы получить первое представление об этом распределении составляют гистограмму (рис.1.6). Производят разбиение оси на определенное число граничащих друг с другом интервалов ₁,...,_k. Затем подсчитывают число m_i выборочных значений, лежащих в _i (1  i  k). Эти числа называют групповыми частотами. Над _i рисуют прямоугольники высоты m_i/n (относительные частоты попадания в интервал). Полученный ступенчатый график называют гистограммой выборки.

Рис. 1.6 Гистограмма.

Удобным способом получить представление о распределении Х является построение эмпирической функции распределения. Для этого подсчитывают число выборочных значений меньших x. Обозначим это число . Ступенчатая функция называется эмпирической функцией распределения выборки (х₁,...,x_n) (рис. 1.7).

Рис. 1.7 Эмпирическая кривая распределения.

Пусть (х₁,...x_n) - выборка. Вопрос о моделировании свойств данной выборки как случайной величины, которые можно было бы перенести на всю генеральную совокупность, является основным вопросом математической статистики.

Функции выборки: среднее значение (математическое ожидание) ; дисперсия ; разброс (среднее квадратичное отклонение) .

Не существует общего критерия, который позволял бы решить, когда выборка может считаться большой, а когда малой. В то время как распределение одной функции выборки уже при n=30 может считаться очень хорошим приближением, для другой - и при n=100 это еще невозможно.

Для проверки соответствия наблюдений какому-либо закону, выдвигают гипотезу. Например, анализ гистограммы показанной на рис.1.6 позволяет выдвинуть гипотезу о том, что анализируемая случайная величина имеет нормальное распределение (рис. 1.8).

Для данной выборки среднее значение = 5,928, разброс  = 2,092.

Для проверки гипотезы используются критерии согласия.

Рис. 1.8 Гистограмма и гипотетическая кривая плотности нормального распределения.

Критерий согласия ² служит для проверки степени совпадения (согласия) эмпирического распределения случайной величины с ее гипотетическим (теоретическим) распределением (рис. 1.8). , где p_i - ожидаемая (теоретическая) вероятность попадания случайной величины в i-й интервал; m_i - фактическая частота попадания в выделенные n интервалов. Критерием служит соотношение расчетной величины ² и ее максимального значения , определяемого по таблицам или расчетом, где  - уровень значимости, определяющий надежность оценки. Если ² , гипотеза принимается.

Для рассматриваемого примера получено значение критерия согласия (MathCAD) равное 0,988. Вероятность отсутствия ошибки при принятии гипотезы мала, т.е. с вероятностью близкой к 1, можно считать распределение нормальным.

Другая задача, которая очень часто возникает, связана с назначением доверительных интервалов для среднего значения, т.е., что данное среднее значение с заданным уровнем доверия (доверительной вероятности) равно .

Зададимся несколькими уровнями доверия, например, 90%, 95% и 99%. Доверительного интервалы, обычно вычисляют на основании критерия Стьюдента. Величина доверительного интервала , где n - количество измерений случай­ной величины; p₀ - доверительная вероятность; - коэффициент Стьюдента, принимаемый по таблицам или рассчитываемый;  - оценка среднеквадратичного отклоне­ния.

В результате вычислений для рассматриваемого примера были получены значения доверительных интервалов:

Доверительная вероятность	90%	95%	99%
Способы	5,928±0,144	5,928±0,185	5,928±0,262
Представления	5,784¸6,072	5,743¸6,213	5,666¸6,190

Для определения количества экспериментов, обеспечивающих получение статистиче­ских зависимостей с требуемым уровнем доверия и величиной доверительного интервала, рассчитаем таблицу значений величины множителя, на который умножается оценка средне­квадратического отклонения при определении доверительного интервала:

Количество величин 	Доверительная вероятность
в доверительном интервале	0,95	0,99	0,995
3	3	4	5
1,5	4	7	8
1	7	10	12
0,5	20	30	35
0,25	60	100	135
0,1	400	700	795

Как видно из таблицы уже при количестве опытов 20-35, величина доверительного интервала достигает половины величины среднеквадратичного отклонения , что вполне приемлемо для большинства технических приложений.