2.Математические методы

2.1Реализация численной модели на эвм

Нахождение оптимального проектного решения с неизбежностью требует вариантного подхода. Использование математических методов позволяет свести число сравниваемых ва­риантов до необходимого и достаточного минимума, однако, оно всегда велико, и только применение средств вычислительной техники позволяет решить поставленную задачу в при­емлемое время. Фактор затрат машинного времени имеет решающее значение при выборе метода решения конкретной прикладной задачи. Об эффективном методе решения можно говорить лишь в том случае, если им действительно решаются задачи данного типа на реаль­ных ЭВМ за реальное машинное время.

В соответствии с этим и само понятие метода в вычислительной математике отлича­ется от традиционного, то есть от его представления как последовательности инструкций, выполнение которых с неизбежностью приводит к желаемому результату.

Обычно говорят не о методе, а об общем подходе к решению конкретной задачи, который может быть реализо­ван в рамках различных вычислительных схем (методов), среди которых существует и опти­мальная, причем эта оптимальность всегда понимается в смысле минимума затрат машин­ного времени на расчет (при прочих равных условиях).

Говоря о «конкретной проектной задаче» необходимо строго определить ее формаль­ные характеристики в отношении, например, выбора управляемых переменных, целевой функции задачи, системы ограничений, накладываемых на управляемые переменные.

Численный метод еще не является программируемым алгоритмом, который состоит из отдельных операций, протекающих в однозначной последовательности, обладает опреде­ленным началом, а также достижимым после конечного числа шагов концом и, следова­тельно, в принципе может быть реализован машиной.

Критерии выбора метода. Для решения поставленной задачи имеется, как правило, целый ряд методов. Выбор определенного метода численного решения задачи и его оконча­тельное преобразование в программируемый алгоритм всегда представляют собой попытку оптимизации, причем известные исходные положения и добавочные требования выступают как дополнительные условия, важнейшими из которых являются следующие:

Исходная информация:

• постановка задачи и общие предположения о решении;

• дополнительная информация об исходных данных (например, числовая область, вид числового материала и др.);

• характеристики вычислительной техники (быстродействие, память и др.);

• представление данных, точность, округление и др.

Требования:

• специальные требования к выходным данным (например, требования к точности, выдача промежуточных результатов, выдача графики, в том числе интерактивной, и др.);

• степень универсальности (должна ли решаться единственная задача, или требуется универсальное программное обеспечение относительно допустимого набора данных);

• минимизация стоимости (времени счета).

Эти условия частично перекрывают друг друга и поэтому при попытке их удовлетво­рения стараются добиваться определенного оптимума. Для этого используют ряд правил оп­ределяемых здравым смыслом и предшествующим вычислительным опытом.

Основой для выбора метода является принцип непосредственного приложения: нужно выбрать по воз­можности метод, который решает именно поставленную задачу, а не ведет к решению через некоторые подзадачи. «Математически элегантные» решения зачастую являются непросмат­риваемыми относительно распространения погрешностей и устойчивости, неблагоприят­ными численно. Важнейшими причинами чрезмерного накопления погрешностей являются частое использование разностей (приводит к потере значащих цифр) и деления на числа не­известного порядка (ведет к переполнению разрядной сетки); этого следует избегать пра­вильной организацией программы.