Интегрирование тригонометрических функций

Пусть требуется найти интеграл вида

Применим подстановку тогда

Далее найдем

Подстановка , носит название универсальной тригонометрической подстановки; она сводит вычисление интеграла от тригонометрических функций к интегрированию рациональных выражений.

Например:

Обозначим тогда

Тогда

Интегралы от степеней тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида

, где m и n –действительные числа

а) Пусть m и n – действительные числа и по крайней мере одно из них положительное, нечетное, например, n=2p+1. В этом случае интегрирование проводят следующим способом:

Обозначим sin x = t

Таким образом, вычисление интеграла свелось к интегрированию рациональной функции.

Пример 1:

обозначим sin x = t

Пример 2:

Обозначим sin x = t

б) Пусть m и n действительные положительные четные числа (m=2p, n=2q). Интегрирование тригонометрических функций в этом случае может быть сведено к интегрированию рациональных функций посредством известных из тригонометрии формул:

Заменим в подынтегральном выражении четные степени синуса и косинуса по указанным формулам.

Далее возведем двучлены в указанные степени, получим вновь четные и нечетные степени синуса и косинуса. Нечетные степени проинтегрируем как указано в пункте а), четные степени снова понизим по формулам понижения четных степеней.

Например: