13. Поняття первісної функції, невизначеного інтегралу та їх властивості. Основні методи інтегрування (заміна змінної інтегрування, інтегрування частинами а інші).

Нехай множина є інтервалом , променем чи , або числовою прямою .

Означення. Функцію називають первісною функції на множині , якщо функція диференційована на і виконується співвідношення .

Зауваження. Якщо якась первісна для на , а , , то , звідси - також первісна для на .

Теорема. Якщо дві функції і – первісні функції на множині , то , .

Доведення. За означенням первісної маємо:

1) первісна для , звідси диференційована на .

2) аналогічно - диференційована на .

3) ,

тому за наслідком із теореми про сталість диференційовної на функції , що має на цьому інтегралі нульову похідну, ми отримаємо, що . ■

Наслідок. Якщо якась первісна для на , то будь яка інша первісна дорівнює .

Означення. Сукупність усіх первісних даної функції на множині називають невизначеним інтегралом функції на множині і позначають , де називають інтегральною, а вираз - підінтегральним виразом.

Властивості невизначеного інтегралу.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Доведення.

2. .

3. .

4. Оскільки , то первісна для на , тому рівність є вірною з точністю до .

Основні методи інтегрування.

1) метод заміни (підстановки),

2) метод інтегрування частинами.

1) Теорема (інтегрування підстановкою)

Якщо функція визначена і диференційована на множині і має множину визначення , а для функції на множині існує первісна , тобто , тоді на X функція має первісну, що дорівнює , тобто .

2) Теорема (Інтегрування частинами)

Функції та диференційовані на і існує на визначений інтеграл , тоді існує інтеграл і має місце формула: .

Доведення.

.

Основні групи функцій що інтегруються частинами.

1.Функції, що виражаються через .

2.

3. ,

Таблиця основних інтегралів.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. .

14. Означений інтеграл та його властивості. Необхідні та достатні умови інтегрованості за Ріманом. Класи інтегрованих функцій. Формула Ньютона – Лейбніца.

Визначення Якщо для функції , що задана на відрізку , для будь-якого розбиття відрізка скінченною кількістю точок і для будь - якого набору проміжних точок відрізків розбиття, існує скінченна границя I інтегральних сум при діаметрі розбиття , що прагне до нуля, тобто , яка не залежить від вибору розбиття і набору проміжних точок , то така функція називається інтегрованою за Ріманом на відрізку , а значення границі – означеним інтегралом Рімана, що позначається .

Необхідна умова інтегрованості функції.

Якщо функція інтегрована на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

Достатня умова інтегрованості функції.

Функція обмежена на відрізку . Для того, щоб вона була інтегрованою на ньому, достатньо, щоб для бу4дь – якого числа знайшлось число , таке, що при будь-якому розбиттю відрізка з параметром виконувалось співвідношення: , де - коливання функції на відрізку .

Зворотне твердження невірне: не кожна обмежена функція інтегрована за Риманом

Основні класи функцій, що інтегровані за Риманом:

1) неперервні на відрізку функції,

2) обмежена, монотонна на відрізку функція,

3) обмежена на відрізку функція, що має зчисленну або скінченну кількість точок розриву.

Формула Ньютона-Лейбниця: Якщо функція неперервна на відрізку , а - первісна функції , то .

Властивості інтегралу Римана.

Якщо функція ( ) інтегрована на відрізку , тоді

1)

2)

3) вона інтегрована на будь-якому відрізку, що міститься в середині ; і навпаки: якщо функція інтегрована на кожному із складових відрізків , то вона інтегрована на усьому відрізку ; зокрема, має місце формула: ( (адитивність інтегралу);

геометрично для неперервної невід’ємної на функції остання рівність означає, що площа криволінійної трапеції на відрізку дорівнює сумі площ складових криволінійних трапецій на відрізках і .

4) добуток і частка є інтегрованою на відрізку функцією (для частки в припущенні про те, що для функції знаменника виконано: .

5) функція інтегрована і має місце нерівність: .

6) якщо на , то ;

зокрема, якщо на , то .

7) якщо на , то має місце оцінка (теорема про середнє):

, а якщо, крім того, неперервна на , то існує таке значення , що .

Частковий випадок теореми про середнє:

якщо , неперервна на , то .

Значення називається середнім значенням функції на відрізку і обчислюється за формулою .