4. Числові послідовності, їх види та арифметичні операції над ними. Граничні точки, границя, нижня і верхня границі послідовності та умови їх існування.

Числові послідовності

Означення: Послідовністю називається функція, що переводить множину натуральних чисел в деяку множину Х (Х-множина будь-якої природи-послідовність чисел, функцій, n-кутників ( )). Тобто, .

Означення: Числовою послідовністю називається нескінченна множина чисел , розміщених в певному порядку один за другим (тобто в цьому випадку ). Числа, що входять в послідовність, називаються її членами. Позначають числову послідовність .

Приклади: 1) 1,2,3,...,n,...; 2) 1,-1,1,-1,...,(-1)^n-1,...; 3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Види числових послідовностей

(обмежені, необмежені, нескінченно великі, нескінченно малі)

1.Означення: – обмежена зверху .

Означення: – обмежена знизу .

Означення: – обмежена з обох боків або просто обмежена, якщо вона обмежена і зверху і знизу .

2.Означення: – необмежена зверху .

Означення: – необмежена знизу .

Означення: – необмежена з обох боків або просто необмежена .

3.Означення: – нескінченно мала послідовність(НМП) .

4.Означення: – нескінченно велика послідовність(НВП) .

Арифметичні операції над числовими послідовностями:

Означення: Нехай і – дві числові послідовності: . Сумою послідовностей і називається: .

Приклад: , .

Означення: Добутком числових послідовностей і називається послідовність, що утворилася із елементів, які є добутком членів цих послідовностей з однаковими номерами, тобто .

Означення: Якщо , тоді часткою числових послідовностей і називається . Якщо («якщо починаючи з деякого номера»), тоді визначеною є послідовність , яка в цьому випадку називається часткою послідовностей і .

Границя

Означення: – збіжна - НМП. Число а називається границею послідовності . Позначення: , .

Приклад: розглянемо послідовність . Оберемо а=1, тоді – НМП. Висновок: .

Граничні точки

Означення 1: Дійсне число називається граничною точкою послідовності, якщо в будь-якому -околі міститься нескінченна кількість членів даної послідовності. Тобто гранична точка послідовності - нескінченна множина.

Означення 2: Дійсне число називається граничною точкою послідовності, якщо існує підпослідовність даної послідовності, яка збігається до х. Тобто гранична точка послідовності : .

Приклад: послідовність з 2ма граничними точками – , тоді , .

Приклад: послідовності, що має нескінченну, а точніше, континуальну кількість граничних точок – – зчисленна множина.

Верхня і нижня границі

Означення 1: Найбільша серед граничних точок – верхня границя послідовності: .

Означення 2: Найменша серед граничних точок – нижня границя послідовності: .

Умови існування

Теорема (про існування верхньої і нижньої границі обмеженої послідовності або друга основна теорема теорії послідовностей): будь-яка обмежена послідовність має верхню і нижню границю.

Теорема (Больцано-Вейєрштрасса): із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Теорема: Послідовність збігається т.і.т.т.к. вона: 1) обмежена, 2) (верхня границя дорівнює нижній).

Означення: – фундаментальна послідовність : .

Теорема (критерій Коші збіжності послідовності): послідовність збігається т.і.л.т.к. вона фундаментальна.