2. Множина раціональних чисел та її властивості. Потужність множини раціональних чисел.
Виз.
Мінімальне розширення множини цілих
чисел, в якому можна буде розв’язати
рівняння
будемо називати множиною раціональних
чисел Q.
Дану множину можна описати наступним чином
Властивості.
Операція упорядкування раціональних чисел
Визначимо ці операції для раціональних чисел
Операція упорядкування
Операція упорядкування
А) якщо
то
Б) якщо
,
тоді
В) якщо
,
тоді
Операція додавання
– сума a та
b,
,
яка визначається так:
3.
– добуток a та b,
,
який визначається так:
4. Транзитивність упорядкування:
Властивості додавання
5.
– комутативність додавання
6.
– асоціативність додавання
7. Існування нейтрального елемента за додаванням
8. Існування протилежного елемента за додаванням:
Властивості множення
9.
– комутативність множення
10.
– асоціативність множення
11.
– нейтральний елемент множення
12.
– обернений елемент
13.
– дистрибутивність
Властивості упорядкування по відношенню до додавання і множення.
14.
15.
16. Аксіома Архімеда: Для будь якого раціонального числа a одиницю можна взяти в такій кількості разів, що отримана сума буде більшою за a, тобто
Або інакше
Виз. Множина називається зчисленною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел.
Множина раціональних чисел є зчисленною множиною
3. Множина дійсних чисел та її властивості. Арифметичні операції над дійсними числами. Упорядкування дійсних чисел
Множину дійсних чисел вводять по-різному:
Дедикінд вводить її за допомогою перерізів;
Кантор вводить множину дійсних чисел за допомогою послідовностей.
Приклад:
а)послідовність 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;…
;б)
Вейєрштрасс вводить множину дійсних чисел за допомогою нескінченних десяткових дробів.
Далі розглядається підхід Веєєрштрасса.
Означення. Множиною дійсних чисел називається множина нескінченних десяткових дробів (НДД), в якій визначено операції упорядкування, додавання і добутку, здійснюються 17 властивостей (16 - аналогічних властивостям множини раціональних чисел, а також додаткова 17 властивість повноти).
Властивості дійсних чисел:
Операція упорядкування рац.чисел:
.
2. Операція додавання:
с –
сума а
та b,
.
3.
с –
добуток а
та b,
.
4. Транзитивність упорядкування:
,
,
Властивість додавання:
– комутативність.Властивість додавання:
– асоціативність.Існування нейтрального елемента за додаванням:
:
.Існування протилежного елемента за додаванням:
.Властивість множення:
– комутативність.Властивість множення:
– асоціативність.
:
– нейтральний елемент множення.
– обернений елемент.– Дистрибутивність.
Властивість упорядкування по відношенню до додавання:
.Властивість упорядкування по відношенню до множення:
.Аксіома Архімеда:
(словесно: для будь-якого дійсного числа
а
одиницю можна взяти в такій кількості
разів, що отримана сума буде більшою
за а ,
тобто
).Властивість повноти: для будь-якої обмеженої зверху (знизу) множини НДД існує точна верхня (нижня) межа.
Арифметичні операції над дійсними числами:
Означення
суми НДД:
-
НДД їх сумою
називається такий НДД, для якого
.
Теорема (про існування суми): - НДД х-НДД: .
Теорема (про єдиність суми): - НДД ! х-НДД: .
Означення добутку НДД: якщо а і b – НДД, то
1.
,
тоді
2.
3.
,
верхнє – якщо одного знаку, нижнє –
різного.
Теорема:
-
НДД
! х-НДД:
.
Упорядкування дійсних чисел:
Розглянемо
НДД
,
.
– СДД (скінченний десятковий
дріб):
1.
- НДД з нулем в періоді,
2.
- НДД з дев’яткою в періоді.
Означення
1:
1)
а та b мають однакові знаки; 2) або
або вони є представленнями одного і
того ж СДД у вигляді НДД.
Означення
2:
0)
;
1)
а та b – невід’ємні, тоді
;
2)
а та b – від’ємні, тоді
;
3)
а – від’ємне, b – невід’ємне, тоді
.
Лема
(коректність означення упорядкування):
якщо СДД b
можна представити двома способами:
та
,
а НДД a
має вигляд
тоді
.