35. Скалярное, векторное и смешаное произведение векторов.

Если один из концов отрезка считают начальным, а другой конечным, то на отрезке устанавливают направление от начала к концу, такой отрезок называется направленным или вектором. Если начало, а конец, то вектор обозначают . Модулем вектора называют его длину и обозначают . Вектор наз. нулевым если начало и конец совпадают, т. е. длинна вектора равна 0 Вектор, модуль которого равен единице наз. единичным или ортом.

Скалярным произведением 2-х не нулевых векторов наз. число , равное произведению длин перемножаемых векторов на cos угла между ними: . Если один из векторов явл. нулевым, то считают, что . Свойства:

1. - коммутативность скалярного произведения. Док-во: по определению , , как видим, если не нулевые векторы, то . Если один из векторов нулевой, то . Таким образом каковы бы не были векторы .

2.

3. Если ,то (pr-проекция).

4. - любое действ. число.

5. необходимо и достат-но

6. . Угол между векторами: по определению .

Векторное произведение 2-х векторов. Если , то векторным произведением векторов и наз. вектор длинна и направление которого определяется следующим образом , угол между Если , то и направлен так чтобы тройка была правой. Для обозначения вект. произведения пользуются такими символами или Если или , то считают .

Св-ва:

1. Если , то , верно и обратное утверждение. Док-во: Если , то возможны такие варианты: а) один из векторов - нулевой. Ясно, что . б) , тогда , в обоих случаях компланарно .(компланарны, если они || одной плоскости).

2. .

3. Длина вект. произведения парал. построенного на векторах , кот. откладываются из одной точки.

4. Вект. произвед. не изменится, если один из сомножителей заменить ортогональной проекцией на плоскость пл-ти b, т. е. .

5. ; .

6. ; .

7. Пусть - правый декартовый базис и пусть в этом базисе

Двойным векторным произв. 3-х векторов наз. вектор или . Теорема.

Смешанное произ. 3-х векторов наз. число . Теорема ( геометр. смысл ). Пусть V-обьем паралел. построенного на векторах , тогда

36. Прямая на плосости. Уравнение прямой на пл-ти в прямоугольной декартовой системе координат.

Построим ур-е прямой, кот. проходит через точку , направляющий вектор. , если некоторая точка прямой, то тогда и только тогда .( -репер). , таким образом для произвольной точки М прямой (1). Ур-е (1) наз. векторным уравнением прямой, кот. проходит через точку . Очевидно . Из (1) получаем параметрическое уравнение прямой: (2). Из парам. уравнения следует каноническое уравнение прямой на плоскости: (3). Прямая проходит через точку Запишем ур-е прямой кот. проходит через 2-е точки . Воспользуемся каноническим ур-м (3), в качестве направляющего вектора возьмем вектор , в итоге получим: (4). Рассмотрим каноническое ур-е прямой . Из него получаем: , , тогда последнее уравнение можно записать в виде (5)- общее уравнение прямой. Из сказанного выше можно сделать вывод, что направляющий вектор прямой .

Теорема.(взаимное расположение на пл-ти) Пусть на плоскости заданы две прямые ; , тогда 1) прямые пересекаются, если ; 2) прямые ||, если ; 3) прямые совпадают, если . Совокупность прямых на пл-ти , кот. проходит через одну точку наз. пучком прямых с центром в точке . Нормальный вектор прямой: ( -прямая)-это любой вектор . Лемма1. Для прямой , . Лемма2. Угол между 2-мя прямыми понимают наименьший угол из 2-х смешанных углов, образованных этими прямыми. Теорема. Пусть ,и , тогда расстояние от точки Р до прямой можно вычислить по формуле: .