Система уравнений Максвела в дифференциальной форме

Переход к дифференциальной форме осуществляется с помощью теоремы Остроградского-Гаусcа

(1) и теоремы Стокса

(2) гдепроизвольный вектор, а(дельта) – дифференциальный оператор равный

(3)

Используя эти теоремы, получим

(4)

Из последних частей этих равенств получим

(5)

Это уравнения Максвела в дифференциальной Форме.

Если среда диэлектрическая или вакуум (в такой среде нет свободных зарядов  = 0и токов проводимостиj = 0) ,то система уравнений(5)принимает вид

,

(6)

Волновое уравнение

Запишем уравнения (6)через векторыE иB.С учетомD=_E иB=_H получим

,

(1)

Умножим обе части левых уравнений (1) векторно на оператор . Получим

(2)

С учетом формулы векторного анализа "бац минус цаб" преобразуем векторные произведения в формулах (2)

a xb xc =b(ac)  c(ab) (3)

где учтено, что согласно (1) E=0и введен оператор(дельта)

(4)

С учетом (3)уравнения (2)можно записать в виде

,(5)

где

(6)

Величина

(7)

называется электродинамической постоянной.Она совпадает со скоростью света в вакууме.

Уравнение вида

(8)

называется волновым уравнением. Параметрvв этом уравнении есть скорость распространения волны. Функция f=f(x,y,z,t),входящая в волновое уравнение, называетсяуравнением волны или волновой Функцией.

Согласно волновым уравнениям (5) возможно существование электрической и магнитной волн в свободном пространстве сдиэлектрической и магнитной проницаемостями и,и в частности в вакууме, где и. Однако поляЕ иВ в этих волнах не являются независимыми, а связаны уравнениями Максвела, поэтому в природе существуют толькоэлектромагнитные волны,в которых изменяющееся эл. полеEпорождает изменяющееся во времени магнитное полеB,и наоборот. Можно показать, что ЭМ-волны являютсяпоперечными,т.е. векторыЕ иB в ЭМ-волне перпендикулярны направлению распространения волны.

Раздел: ВОЛНЫ.

Обычно под волнойпонимают распространение колебаний в пространстве. В общем случае волна -это распространение в пространстве любого возмущения среды или поля. Существуют, например, волны на поверхности жидкости, акустические, электромагнитные и т.п. волны.

Особенностью волновых процессов является перенос энергии в ванне без переноса вещества. Например, в случае акустической или звуковой волны частицы среды колеблются около своих положений равновесия, повторяя колебания соседних частиц среды.

1.По форме различают следующие волны:

а.Одиночные волны или импульсы

б.Цуг волн -обрывок синусоиды

в. Гармонические или монохроматические волны,представляющие собой бесконечную синусоиду

Такие волны в природе не существуют, это идеализация. Однако, согласно теореме Фурье, доказываемой в математике, любая реальная ограниченная в пространстве и времени волна может быть представлена в виде бесконечного набора монохроматических волн различной частоты. Поэтому для изучения распространения волн в среде достаточно знать как распространяются в ней отдельные монохроматические составляющие.

2.В зависимости от направления колебаний в волне различаютпродольные и поперечные волны.В продольной волне колебания частиц среды осуществляются в направлении распространения волны, а в поперечной - в направлению перпендикулярном направлению распространения волны.

Примером продольных волн являются звуковые волны в газе. В твердых телах могут существовать как продольные, так и поперечные звуковые волны Примером чисто поперечных волн являются ЭМ-волны.

3.Волны различают также по типуволновых поверхностей,которые представляют собой геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. По типу волновых поверхностей различаютплоские, сферические и цилиндрические волны.

Частным случаем волновой поверхности является волновой фронт -геометрическое место точек, до которых доходят колебания в момент времени t.

Фронт волны разделяет охваченную волновым процессом часть пространства от неохваченной.

4. Физическая величина f ,изменяющаяся по волновому закону, должна удовлетворятьволновому уравнению

(1)

где V -скорость распространения волны.

Если волна распространяется в одном направлении, например, оси X ,

то волновое уравнение имеет вид

(2)

Решением этого уравнения являются функции вида f(Vt-x) или f(t-x/V) описывающие волну, распространяющуюся в положительном направлении оси-X Аргумент функции (Vt-x) или (t-x/V) называетсяфазой волны.

Поверхности постоянной фазы (Vt-x)=const называются волновыми поверхностями.При t =const поверхность постоянной фазы удовлетворяет уравнению x=const ,которое является уравнением плоскости, перпендикулярной оси X,т.е. направлению распространения волны. Таким образом, функции вида f=f(Vt-x) или f=f(t-x/V) описываютплоские волны. Дифференцируя обе части равенства (Vt-x)=const,получим Vdt-dx=0 или V=dx/dt,т.е. V есть скорость распространения поверхности постоянной фазы и ее называютфазовой скоростью волны. 5. Любая волна обладает энергией W и энергией в единице объема или объемной плотностью энергии W:

(3)

6. Волна, распространяющаяся со скоростью V,переносит через единицу поверхности в единицу времени энергию

S=V (4)

Вектор S называется вектором Умова. Его величина S представляет собой плотность потока энергии. Вектор Sуказывает направление переноса энергии в волне.

Плоские монохроматические волны.

Волны вида

f(x,t)=Acos((t-x/V)+)=Acos(t-kx+)=AcosФ (1)

называют плоскими монохроматическими или гармоническими. Здесь

А - амплитуда волны,

Ф =t-kx+ -фаза волны, -начальная фаза,

x -координата поверхности постоянной фазы Ф = constв момент t,

V - фазовая скорость волны,

 =2T -циклическая частота колебаний в волне,=1/T -частота колебаний в герцах, T -период колебаний в волне,

К =/V -волновое число или постоянная распространения,

Учитывая, что длина волны  -это путь, проходимый волной за период колебаний в волне,

x=VT=V/ (2)

получим для волнового числа и фазовой скорости волны

V= 

Координату x поверхности постоянной фазы можно представить в виде x=re_x,e_x единичный вектор в направлении оси Х,r -радиус-вектор произвольной точки поверхности постоянной Фазы. Тогда произведение kx в уравнении волны можно записать в виде скалярного произведения, независящего от выбора системы отсчета:

kx=ke_xr=kr, k=ke_x - волновой вектор (4)

С учетом этого выражения уравнение плоской волны можно записать в виде

f(r,t)=Acos(t-kr+) (5)

Часто для монохроматических волн используют комплексное представление, понимая под волной реальную часть комплексной функции

f(r,t)=Re(Ae^i)=Ref(cos+i sin)=Acos, (6)

где Ф=t-kx+.Операции с комплексными числами намного проще, чем с действительными.

Наряду с комплексным представлением гармонические колебания изображают в виде проекции вектораА,вращающегося с угловой скоростьюна ось X.Начальное положение вектораA к оси X составляет угол ,а произвольное Ф=t+ ,где (-kr) отнесено к.

Проецирование вектора на ось Х и взятие реальной части комплексного числа -эквивалентные операции.

Электромагнитные (световые) волны. Общие свойства.

1.ЭМ-волна в среде сираспространяется с фазовой скоростью

(1)

где величина n =c/V называетсяабсолютным показателем преломлениясреды.

2. Векторы E, B,V в ЭМ-волне взаимно перпендикулярны и образуют правый винт. Это внутреннее свойство ЭМ-волны, независящее от выбора системы отсчета. Так как E и B перпендикулярны V,тоЭМ-волны поперечны.

3. Мгновенные значения векторов E и B в ЭМ-волне связаны соотношением Е=VB, откуда с учетом (1)и В=₀H получим

(2a)

Отсюда следует, что поля E и H(B)одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают своих максимальных значений, т.е. колеблются синфазно:

E_m=vb_m, (2б)

4.ЭМ-волны обладаютобъемной плотностью энергии,мгновенное значение которой с учетом (2а) равно

=_эл+_м=(3a)

C учетомE=E_mcost и Н=Н_mcost и того, что средние по времени значения получим для среднего значения объемной плотности энергии в ЭМ-волне

(3б)