- 2-

РАЗДЕЛ: Уравнения Максвела.

Вихревое электрическое поле.

Рассмотрим частный случай электромагнитной индукции, когда контур неподвижен и через него изменяется магнитный поток. Согласно закону Фарадея в контуре возникает ЗДС индукции

(1)

где Ф= -магнитный поток через произвольную поверхность натянутую на контур. Знак минус стоит в соответствии с правилом Ленца и означает, что возникший индукционный ток I_i=_i/Rв контуре направлен так, чтобы поле В_iэтого тока препятствовало увеличению внешнего поляВ и его потока Ф.

Согласно предположению Максвела индукционный ток I_iв контуре вызываетсявихревым электрическим полемE_в ,силовые линии которого замкнуты. Вихревое полеE_ввозникает независимо от того, есть ли контур в области изменения поля или нет. Согласно определению электродвижущей силы ЭДС индукции равна циркуляции вектораE_Bпо замкнутому контуру:

(2)

Приравнивая (1) и (2) ,получим

(3)

где использован знак частной производной /t,так как полеB=B(x,y,z,t) в общем случае зависит как от координат (x,y,z),так и времени t.

Если в области контура действует также и электростатическое полеE_q,то ввиду его потенциальности можно написать

(4)

Складывая (3)и (4)и обозначаяЕ =E_в +E_q -полное электрическое поле (вихревое и электростатическое)в области контура, получим

(5)

Уравнение (5)является обобщением закона электромагнитной индукции в трактовке Максвела и утверждает, что переменное магнитное поле Ввсегда порождает переменное электрическое полеE.

Ток смещения

Из опытов по размыканию и замыканию электрической цепи, содержащей конденсатор, известно, что переменный или изменяющийся во времени ток через конденсатор протекает, а постоянный ток не протекает.

Так как внутри конденсатора - диэлектрик или вакуум, то ток проводимости внутри конденсатора протекать не может. Для объяснения наличия в цепи с конденсатором переменного тока Максвел предположил, что внутри конденсатора возникает ток, который он назвал током смещения.Кроме того Максвел ввел понятиеполного тока,который по его предположению равен сумме токов проводимости и смещения

I_полн=I+I_см=(1)

где j и j_см - плотности токов смещения.

Выражение для тока смещения согласно Максвелу можно найти следующим образом. Ввиду непрерывности линий тока на границе проводник-конденсатор тон проводи­мости Iдолжен переходить в ток смещения I=I_см. Согласно определению ток проводимости равен I=dq/dt, где на границе проводник-конденсатор q -заряд обкладки конденсатора.

Для нахождения производной dq/dt окружим обкладку конденсатора произвольной замкнутой поверхностью S и воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D -индукции электрического поля

(2)

где q -свободный заряд на обкладке конденсатора внутри S.Дифференцируя обе части (2)по t,найдем ток смещения в конденсаторе

(3)

Учитывая, что (4)

из (3)и (4)получим, чтоплотность тока смещенияравна скорости изменения индукции эл. поля в конденсаторе

(5)

Плотность полного токав области пространства, где существуют токи проводимости и переменное электрическое поле равна

(6)

Закон полного тока с учетом тока смещения

Согласно предположению Максвела в теоремы о циркуляции векторов H или Bдолжен входить полный ток, охватываемый произвольным контуром Г. Т.е. полагаем

(1)

Получили

(2)

Это уравнение есть закон полного тока в трактовке Максвела. Из него следует, что переменное эл. поле всегда порождает переменное магнитное поле.

Система уравнений Максвела в интегральной форме

Согласно Максвелу переменные электрические и магнитные поля взаимосвязаны(одно переменное поле порождает другое) и удовлетворяют следующей системе уравнений.

(1)

,

Эти уравнения дополняются выражением для силы Лоренца, описывающей дви­жение свободных зарядов в электрических и магнитных полях

F=qE+q[v,B]. (2)

Если поля стационарны (Е=const иВ=const), то уравнения

(1) принимают вид

, (3)

,

Из этих уравнений следует, что стационарные электрические и магнитные поля в отличие от переменных полей могут существовать раздельно.

Уравнения Максвела являются постулатами(аксиомами) современной тео­рии электромагнетизма. Их нельзя доказать. Можно указать лишь логическиe посылки, приводящие к этим уравнениям.

Систему уравнений Максвела можно дополнить граничными условиями, для векторов В, E,H, D,которые для границы раздела двух сред, на которой нет свободных зарядов и токов проводимости, имеют вид

D_1n=D_2n, E_1=E_1, (4)

B_1n=B_2n, H_1=H_1,

где индекс n означает нормальную составляющую поля, а  -тангенциальную или касательную к границе раздела.

Уравнения Максвела не содержат никаких предположений о свойствах среды, в которой существует электромагнитное поле.Свойства среды учитываются с помощью уравнений, которые называютматериальными

 D=₀E, B=₀j=E, (5)

где и -электрическая и магнитная проницаемости среды,_и_ -электрическая и магнитная постоянные, -проводимость среды.

Обоснование различных представлений для ,ивыходит за рамки теории Максвела, так как требует предположений о свойствах вещества.