[Править] Получение уравнения Шрёдингера предельным переходом

Существует способ получить уравнение Шрёдингера, используя предельный переход к классической механике.

Рассмотрим оператор

Поскольку интеграл есть величичина постоянная (для нормированной функции равная 1) то:

(Звездочкой будем обозначать комплексное сопряжение) Подставляя сюда наш оператор (оператор со звездочкой — комплексно сопряженный, с тильдой — транспонированный):

Иначе:

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции Ψ, то отсюда следует, что тождественно , то есть операторэрмитов. Чтобы выяснить смысл этого оператора, подействуем им на функцию(функция квазиклассической системы,a— медленно меняющаяся функция,S-действие):

Пренебрегая первым членом в силу его малости получаем:

То есть --- собственное значение нашего оператора. Но эта производная есть ничто иное, как классическая энергия системы (функция Гамильтона). Поэтому этот оператор называют гамильтонианом или гамильтоновым оператором.

Мы не будем здесь приводить вывод оператора импульса(точнее, оператора величины, сохраняющейся в силу однородности пространства), приведем лишь результат:

Или в компонентах(оси x₁,x₂,x₃...):

В том, что это есть оператор величины переходящей в классический импульс можно убедиться, тем же методом, что был предложен для гамильтониана. Можно показать, что сохраняющаяся со временем величина, в частности импульс, измерима одновременно с энергией. Поэтому мы предположим, что соотношение между операторами импульса и энергии совпадает с классическим соотношением между соответствующими величинами:

Но:

Таким образом:

23,/2

Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера лежит в основе квантовой механики. Оно, как и уравнение Ньютона, не выводится, а является обобщением опытных фактов. Его справедливость доказывается совпадением результатов, полученных из его решения и экспериментов. Уравнение Шредингера для стационарных состояний, т. е. для состояний с фиксированными значениями энергии, имеет вид

где    - сумма вторых частных производных от волновой функции по координатам;       m_e  - масса частицы;           - постоянная Планка;      E - полная энергия частицы;      U - потенциальная энергия частицы.

Из решения уравнения Шредингера для конкретного случая находят вид волновой функции Ψ, квадрат ее модуля |Ψ|² и вероятность обнаружения частицы.

Атом водорода по теории Шредингера

Уравнение Шредингера позволяет решить вопрос о строении водородоподобного атома, т. е. атома, который состоит из положительно заряженного ядра с зарядом +Ze и одного электрона. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, согласно формуле (2.14), равна:

где Z - порядковый номер элемента в таблице Менделеева (для атома водорода = 1);     e - заряд электрона;     r - расстояние между электроном и ядром:  (см. формулу (1.1));       - электрическая постоянная.

Если подставить (5.17) в уравнение Шредингера (5.16), то окажется, что это уравнение имеет решение не при всех отрицательных значениях электрона E, а только таких, которые удовлетворяют условию:

где n = 1, 2, 3, ... - целое число.

Заметим, что формула (5.18) совпадает с формулой (5.11), полученной в теории Бора.

Из формулы (5.18) следует, что энергия электрона в атоме квантуется.

Найденная при этих значениях энергии волновая функция Ψ зависит от трех квантовых чисел:

n - главное квантовое число, n = 1, 2, 3, ...; l - орбитальное квантовое число, l = 1, 2, 3, ..., (n -1); m_L - магнитное квантовое число, m_L = -l , -l +1, ..., 0, ..., (l -1), l .

Волновая функция определяет состояние электрона в атоме, а квадрат ее модуля - вероятность обнаружения электрона в единице объема (см. (5.14)).

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы "размазан" по всему объему, образуя электронное облако. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m_L характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В квантовой физике, по аналогии с спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовым числом l = 0, называется S - состоянием, l = 1 - p - состоянием, l = 2 - d - состоянием и т. д. Для обозначения различных состояний электрона в атоме используют следующие обозначения: значения главного квантового числа указывают перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например, электроны в состояниях n = 1, l = 0 обозначаются 1S, при n = 2, l = 1 обозначаются 2p и т. д.

Квантовые числа позволяют компактно описать закономерности в спектре испускания (поглощения) атома водорода.