Лабораторные работы по механике

где m = 29 г – масса стержня; M = 131 г – масса диска, насаженного на стержень; mi

– масса сменного кольца; R – внешний радиус диска; Rк – внешний радиус кольца. При учете работы, совершаемой маятником против сил трения, уравнение за-

кона сохранения энергии имеет вид

mgh = mv2/2 + Iω2/2 + A,

где A – работа против сил трения.

Эту работу можно оценить по изменению высоты первого подъёма мaятникa. Считая, что работа при спуске и подъеме одинакова, получим A = mg∆h/2, где ∆h – изменение высоты наивысшего положения маятника в первом цикле спуск-подъем.

где ∆I – оценка, величины, на которую завышается экспериментально опредёленное значение Iэ без учета потери энергии на трение.

Экспериментальное измерение Iэ основано на определении ускорения a , с которым опускается маятник. Из уравнения (5.2)

h = mr2g/(2Iэ + 2r2m)

Проводится измерение времени t опускания маятника с различной высоты h, а затем методом наименьших квaдpaтов определяется коэффициент k линейной зависимости y = kx, где x = t2, y = h. Из (5.2) определяется Iэ, а также погрешность ∆Iэ.

Указания к выполнению наблюдений

1.Измерить штангенциркулем диаметры стержня, диска, и кольца.

2.Установить нижний кронштейн 3 с фотодатчиком 9 в крайнее положение по высоте. Боковая риска на кронштейне служит указателем для отсчета, высоты. По шкале, пользуясь указателем кронштейна, определить и записать ход маятника. Произвести регулировку положения основания при помощи регулировочных опор так, чтобы диск на бифиллярном подвесе находился посередине фотодатчика. Установить с помощью устройства 4 необходимую длину бифиллярного подвеса таким образом, чтобы нижний край сменного кольца маятника находился на 4..5 мм

23

ниже оптической оси фотодатчика; при этом ось маятника должна занять горизонтальное положение.

Нажать кнопку “СЕТЬ”, расположенную на лицевой панели секундомера; при этом должны загореться лампочки фотодатчика и цифровые индикаторы секундомера. Надеть на диск маятники одного из трех съёмных колес. Вращая маятник, зафиксировать его в верхнем положении при помощи электромагнита; при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на стержень виток к витку. В зафиксированном положении нити подвеса должны быть ослаблены.

Нажать кнопку “СБРОС”, затем кнопку “ПУСК”. При этом электромагнит обесточивается, маятник раскручивается, секундомер начинает производить отсчет времени, прекращающийся в момент пересечения маятником оптической оси фотодатчика. Записать значение времени. Вращая маятник, вновь зафиксировать его в верхнем положении. Нажав последовательно кнопки “СБРОС” и “ПУСК”, повторить наблюдения ещё 4 раза на данной высоте.

3.Измерить время опускания маятника для данной длины свободного хода. маятника. Для этого поднять нижний кронштейн с фотодатчиком на 5..6 см и зафиксировать его на стойке. С помощью винта 4 вновь установить необходимую длину бифиллярного подвеса и провести 5 наблюдений по определению времени свободного хода маятника. Записать длину хода маятника.

4.Указанную в п.3 процедуру проделать еще для двух высот, уменьшая каждый раз длину свободного хода на 5..6 см. Таким образом, для 4 величин свободного хода маятника будет получено 20 значений времени.

5.Опустить кронштейн с фотодатчиком в крайнее нижнее положение. Отрегулировать бифиллярный подвес для свободного хода маятника в соответствии с п.2. Записать длину свободного хода маятника. Визуально зафиксировать и записать значение шкалы, против которого после раскручивания остановится ось маятника.

6.Вид таблицы для результатов наблюдений разработать самостоятельно.

Задание по обработке результатов

1.Используя метод наименьших квадратов, найти коэффициент k зависимости y = kx, где y = h, x = t2, а также погрешность ∆k. Далее получаем ускорение и его погрешность: a = 2k, ∆a = 2∆k.

24

2.Построить график зависимости h(t).

3.По формуле (5.2) определить Iэ, а также доверительную погрешность ∆Iэ.

4.По формуле (5.3) вычислить Iт.

5.Найти ∆I по формуле (5.4).

6.Сравнить результаты, полученные в пп. 2 и 3 с учётом оценочного значения ∆I из п.4. Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1.Напишите закон сохранения механической энергии для маятника в данной лабораторной работе.

2.Если положить, что маятник представляет собой диск массой m радиуса R, то: а)

Чему равна полная энергия маятника?

б) Какие части от полной энергии составляют энергии поступательного и вращательного движения?

3.Каким образом можно оценить работу против сил трения?

4.Как изменится теоретическое значение момента инерции маятника, если увеличить массу диска?

РАБОТА 6.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер, масштабная линейка, микрометр.

Цель работы: исследование динамики колебательного движения на примере крутильного маятника, определение модуля сдвига материала подвеса.

Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный конец которой зажат в неподвижном кронштейне 3. На кронштейне расположено кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 мож-

25

но положить сверху на диск 1, изменив тем самым момент инерции маятника. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.

Исследуемые закономерности

Крутильный маятник. При повороте тела, момент инерции которого I, закрепленного на упругом подвесе, на угол ϕ происходит закручивание подвеса, в подвесе в результате деформации сдвига возникает вращающий момент упругих сил M=-kϕ, где k – коэффициент кручения, зависящий только от упругих свойств подвеса. Без учета сил трения в подвесе уравнение движения тела имеет вид

являясь уравнением гармонического осциллятора с частотой собственных колебаний ω0 = k I .

и является уравнением осциллятора с затуханием. Решение этого уравнения имеет вид

− t

ϕ(t) = A0e τ cosωt ,

где A0 – начальная амплитуда колебаний маятника, τ – время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A(t) маятника и численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз

(рис. 2)

26

случае малых деформаций равен силе, действующей на единицу площади S при единичном угле сдвига γ (рис. 3) касательно сдвигу слоев вещества в месте определения модуля G.

Для подвеса из стальной проволоки модуль сдвига определяется из соотно-

шения

G = 32kl ,

πd 4

где l – длина подвеса, d – его диаметр, k – коэффициент кручения.

Указания по выполнению наблюдений

1.Измерить масштабной линейкой длину подвеса l, микрометром или штангенциркулем диаметр подвеса d, а также внешний Dex и внутренний Din диаметры кольца и диаметр D0 диска маятника. Результаты измерений, а также значение массы кольца записать в протокол наблюдений.

2.Измерить период колебаний маятника, для чего повернуть диск на некоторый угол (примерно 30о) и отпустить его, включив одновременно секундомер. Отсчитав n = 20 полных колебаний, отключить секундомер. Измерения повторить 5 раз, занося результаты каждый раз в таблицу 1 протокола наблюдений.

3.Измерить период колебаний маятника с кольцом, для чего положить кольцо на диск маятника и выполнить действия, описанные в п. 2.

4.Измерить время затухания колебаний, для чего, не снимая кольца с диска, повернуть диск на угол примерно 30о, записав при этом в таблицу 2 отсчет a0 на шкале диска. Отпустить диск, включив одновременно секундомер. Измерить время t, за которое амплитуда уменьшится примерно в два раза, записав при этом соответст-

вующий отсчет at по шкале диска. Притормозив диск рукой, прекратить колебания и записать отсчет a00 по шкале диска в состоянии покоя. Измерения повторить 5 раз, занося результаты каждый раз в таблицу 2 протокола наблюдений.

28

Задание по обработке результатов

1. Определение периода колебаний маятника. Определить по данным таблицы 1

значения периода колебаний T маятника без кольца и T’ с кольцом. Определить погрешности ∆T и ∆T’ с доверительной вероятностью p = 95%.

2. Определение времени затухания маятника. Найти время затухания τ маятника и погрешность ∆τ при p = 95% по данным таблицы 2. Время затухания вычисляется по формуле

3. Определение момента инерции маятника. Определить момент инерции маятника по формуле

где Ic - момент инерции кольца. Вычислить погрешность ∆Im, пользуясь правилами расчета погрешностей косвенных измерений.

4. Определение собственной частоты колебаний гармонического осциллятора.

тоту ω0 колебаний. Вычислить погрешность ∆ω0.

5.Определение коэффициента кручения материала подвеса. Найти коэффициент кручения k = ω0 2Im и погрешность ∆ k.

6.Определение модуля сдвига материала подвеса. Рассчитать модуль сдвига G и

оценить его погрешность.

7.Определение полной энергии, мощности потерь и добротности маятника.

Пользуясь соответствующими соотношениями, определить указанные величины. Округлить полученные результаты, основываясь на погрешностях, рассчитанных в предыдущих заданиях.

29

31