Лабораторные работы по механике

амортизатором, о который ударяется груз при остановке. На вертикальной стойке 1 укреплена миллиметровая линейка 9, по которой определяют начальное и конечное положения грузов, т.е. пройденный путь.

Начальное положение определяют визуально по нижнему краю груза, конечное положение – по риске среднего кронштейна. Секундомер 10 выполнен как самостоятельный прибор с цифровой индикацией времени.

Машина Атвуда предназначена для изучения законов поступательного и вращательного движений. Принцип работы установки основан на том, что когда на концах нити подвешены грузы различной массы, система начинает двигаться равноускоренно. В комплект добавочных грузов входит несколько перегрузов, что позволяет исследовать движения с различными ускорениями.

На каждый груз действуют две силы – сила тяжести и сила натяжения нити, под действием которых грузы движутся. Предполагая, что нить невесома и нерастяжима, получим, что ускорения обоих грузов будут постоянны, одинаковы по значению и противоположит по направлению. На основании второго закона Ньютона

где m1 и m2 – массы 1-го и 2-го грузов; ∆mi – масса перегруза, находящегося на 1-м грузе; T1 и T2 – силы натяжения нити, действующие на 1-й и 2-й грузы; a – ускорение грузов. Вращение блока описывается уравнением

где r – радиус блока; Mтр – момент сил трения в оси блока; I – момент инерции блока; ε – угловое ускорение блока. Из уравнений (3.1) – (3.3) легко получить

S – пройденный грузом за время t путь.

Целью выполнения работы является определение момента инерции блока и момента сил трения в блоке. Для этого экспериментально исследуется зависимость

13

(3.4) M от ε. Различные значения M реализуются с помощью набора перегрузов массой ∆mi и определяются по формуле (3.5). Значения ε рассчитываются по формуле (3.6). Из экспериментальных значений линейной зависимости (3.4) значения ε и Мтр находится по методу наименьших квадратов (МНК).

Указания по выполнению наблюдений

1.Перекинуть через блок нить с двумя грузами.

2.Произвести регулировку положения основания при помощи регулировочных опор, используя для визуального наблюдения в качестве отвесов питье грузами.

3.Установить кронштейн с фотодатчиком в нижней части шкалы таким образом, чтобы правый груз при движении проходил посередине рабочего окна фотодатчика. По риске на среднем кронштейне определить h0 – положение оптической оси на измерительной шкале.

4.Нажать кнопку "СЕТЬ" на лицевой панели секундомера, при этом должны загореться лампочки с цифровой индикацией,

5.Нажать на кнопку "СБРОС" секундомера и убедиться, что на цифровых индикаторах загорелись нули.

6.Переместить правый груз в верхнее положение, положить на него перегруз №1.

7.Записать в таблицу значение шкалы h1, соответствующее нижнему краю груза. Пройденный путь определяется как разность S = h0 – h1.

8.Нажать кнопку "ПУСК". Принажатой кнопке отключается фрикцион, а секундомер начинает счет времени. При пересечении грузом оптической оси фотодатчика счет времени прекращается. Кнопку "ПУСК" отпустить. Записать время равноускоренного движения грузов.

9.Измерения по пп. 7 и 8 провести 3 раза.

10.Измерения по пп. 7.–.9 провести для следующих перегрузов и их комбинаций:

а) №2, б) №3, в) №3 + №1, г) №3 + №2, д) №3+№4.

Значения измеренных величин h1 и t записать в таблицу.

Значения масс перегрузов выгравированы или выштампованы на их поверхности, значение r указано на приборе.

11.Вид таблицы разработать самостоятельно.

14

Задание по обработке результатов

1. Определить I и Mтр методом наименьших квадратов по уравнению (3.4). Для этого необходимо:

а) вычислить по формулам (3.5) и (3.6) значения Mk и εk для всех наблюдений (т.е. 18 пар значений Mk и εk),

б) из сопоставления линейной зависимости Y = aX + b и уравнения (3.3) получим

X = ε, Y = M, a = I, b = Mтр.

Отсюда I = a , ∆I = ∆a, Mтр = b , ∆Mтр = ∆b.

2. По найденным с помощью МНК параметрам линейной зависимости построить график зависимости M от ε. Нанести на график точки (εi, Mi) (i=1..18).

Контрольные вопросы

1.Дайте определение и объясните физический смысл момента инерции точечного, составного и сплошного тел.

2.Дайте определение момента сил, действующих на тело. Укажите на рисунке направление момента силы.

3.Напишите в векторном виде уравнение вращательного движения для блока в машине Атвуда.

4.Во сколько раз отличаются моменты инерции тонкого кольца и однородного блока одинаковой массы и радиуса?

5.Чему равен момент инерции диска массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через точку, расположенную на расстоянии R/2 относительно центра диска?

6.Каким образом в работе реализуются различные значения моментов сил, приложенных к блоку?

7.Как изменится величина углового ускорения, если увеличить путь, пройденный грузом?

РАБОТА 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: оборотный маятник, секундомер.

15

Цель работы: ознакомление с физическим маятником и определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника.

Описание установки и исследуемые закономерности

Использование оборотного маятника для определения ускорения силы тяжести основано на свойстве сопряжённости центра качения и точки подвеса. Это свойство заключается в том, что во всяком физическом маятнике, а, следовательно, и в оборотном, всегда можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании за ту или иную из них, период его колебаний остаётся одним и тем же. Расстояние между этими точками определя-

ет собой приведенную длину lпр данного маятника. Если амплитуда колебаний маятника мала, то период колебаний выразится формулой (4.4) (см. ниже).

На вертикальной стойке основания крепится кронштейн, к которому подвешен физический оборотный маятник. Грузы m1, m2 и опорные призмы П1, П2 могут перемещаться по всей длине стержня оборотного маятника и фиксироваться в требуемом положении (рис. 1). Стержень имеет кольцевые проточки, нанесенные через 10 мм, которые служат для надежной фиксации грузов и опорных призм, а также для отсчета расстояний между ними. Фотоэлектрический датчик с помощью кронштейна закреплен в нижней части вертикальной стойки и имеет возможность перемещаться как вдоль, так и вокруг вертикальной стойки и фиксироваться в любом положении. Датчик предназначен для выдачи электрических сигналов на секундомер. Секундомер имеет цифровую индикацию времени и количества полных периодов колебаний маятника.

16

При выводе формулы (4.6) мы полагаем, что T1 = T2. На самом деле равенства периодов T1 и T2 можно добиться лишь с определенной точностью. Поэтому для определения g с помощью оборотного маятника можно воспользоваться уточнен-

Для расчета и необходимо предварительно найти центр масс xC оборотного маятника. Для физического тела центром масс системы называется точка C с ради- ус-вектором rC, определяемым следующим образом:

rC = Σmiri / m,

где mi – масса i-й частицы, ri – радиус-вектор этой частицы; m – масса системы. В одномерном случае положение центра масс задаётся одной координатой:

xC = Σmixi / m.

Указания по выполнению наблюдений

1.Подвесить маятник на опорной призме. Заданное положение опорных призм П1 и П2 в процессе работы не изменять. Укрепить грузы m1 и m2 приблизительно в положениях, обозначенных на рис.7.

2.Включить кнопку “СЕТЬ” на секундомере.

3.Отклонив маятник на небольшой угол ϕ1 (ϕ1 < 10°), нажать кнопку “СБРОС” на секундомере и без толчка отпустить маятник.

4.После 2-5 колебаний нажать кнопку “СТОП”.

18

5.По показаниям секундомера. определить среднее значение периода 2..5 колебаний маятника по формуле Ti = t/n, где t – время колебаний, n – число колебаний. Результаты наблюдений и расчета, записать в протокол испытаний.

6.Проделав измерительные операции по пп. 3...5 для углов начального отклонения

ϕ2 и ϕ3, меньших ϕ1, определить рабочий диапазон амплитуд, в пределах которого период колебаний T маятника можно считать не зависящим от амплитуды с точностью до 5 мс.

7. Из определённого в п. 6 диапазона амплитуд выбрать угол ϕк и, не меняя его в дальнейшем, повторить наблюдения по пп. 3..5 один раз. Записать результаты наблюдений и расчетное значение периода T1 в таблицу. При обработке данных считать значения периодов T1 и T2 результатами прямых измерений. При этом приборная погрешность θt, равная 3 единицам последнего разряда, уменьшается в n раз, где n – число колебаний, по которым определяется период:

θT = θt/n.

T1 и T2 – периоды колебаний маятника, когда точками подвеса маятника служат опорная призма П1 и призма П2 соответственно.

8.Повернуть маятник и подвесить его на второй опорной призме.

9.При таком же угле отклонения ϕк маятника, что и в п. 7, повторить наблюдения по пп. 3..5 один раз. Рассчитать значение периода T2, записать результаты наблюдений в таблицу.

10.Во втором положении маятника перемещение груза m1 вниз приводит к увеличению момента инерции маятника и, следовательно, к возрастанию T1; перемещение груза m1 вверх приводит к уменьшению T1.

Сравнить T1 и T2, и в соответствии с результатом сравнения переместить груз m1 вверх или вниз на несколько делений шкалы стержня, добиваясь наилучшего сов-

падения периодов T1 и T2. Результат измерения T2′ записать в таблицу.

11.Перевернуть маятник в первоначальное положение и измерить период T1′. Записать результат. Сравнить T1′ и T2′. Руководствуясь предыдущим опытом, переместить груз m2 в нужном направлении, добиваясь наилучшего совпадения T1′′ и T2′′.

12.Перемещением грузов m1 и m2, находящихся в нижнем положении, при последовательном переворачивании маятника добиться совпадения периодов T1′′ и T2′′ с

19

точностью не хуже, чем 5 мс. (При тщательном выполнении пп. 7..12 требуемый результат может быть достигнут после двух переворачиваний маятника).

13.Окончательное измерение значений периодов при условии их наилучшего совпадения провести по пяти наблюдениям T1 и T2.

Результаты записать в таблицу.

14.Измерить и записать значения lпр и расстояний, определяющих положение грузов m1 и m2, а также призм П1 и П2 относительно выбранного начала координат.

Задание по обработке результатов

1.По данным таблицы п. 13 провести статистическую обработку результатов наблюдений: определить средние значения T1 и T2 , доверительные погрешности ∆T1 и ∆T2 , записать результаты измерений T1 и T2 в таблицу.

2.Вычислить ускорение силы тяжести, считая найденное совпадение периодов колебаний мятника наилучшим, определить Т в формуле (4.6) как среднее арифметическое периодов T1 и T2.

3.Определить доверительную погрешность ускорения силы тяжести, найденного по упрощенной формуле. Записать результат измерений.

4.По известным параметрам маятника в положении грузов и призм, соответствующих наилучшему совпадению T1 и T2, привести расчет центра масс xC. Массы грузов m1 и m2 и стержня с призмами m3 указаны на установке.

Определить расстояния l1 и l2 между центрами масс и осями качаний, справедливость расчета l1 и l2 проверить по формуле (4.7). После расчета l1 и l2 считать непосредственно измеряемыми величинами.

5.Провести расчет ускорения силы тяжести по уточненной формуле (4.8).

6.Вывести формулу и определить доверительную погрешность g по уточнённой формуле. Записать результат измерений.

7.Сравнить результаты определения g по оценочной и уточненной формулам. Сделать выводы о возможности использования упрощенной формулы.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение и объясните физический смысл момента инерции точечного, составного и сплошного тел.

20

2.Под действием какой силы совершается колебательное движение маятника? Куда приложена эта сила?

3.Напишите выражение для периода колебаний физического маятника и поясните все величины, входящие в данное выражение.

4.Какое расстояние называют приведенной длиной маятника?

5.Каким образом можно рассчитать координаты центра масс твердого тела?

6.Как зная массу Земли Mз, радиус Земли Rз и гравитационную постоянную G определить ускорение свободного падения g. Используйте полученное теоретическое значение при оформлении вывода к работе.

7.Во сколько раз отличается момент инерции однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через центр масс стержня, от момента инерции относительно оси, проходящей через край стержня?

РАБОТА 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, со сменными кольцами, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль.

Цель работы: изучение закона сохранения энергии и определение момента, инерции маятника.

Описание установки и исследуемые закономерности

Маятник Максвелла (рис. 1) представляет собой диск 6, закрепленный на стержне 7, подвешенном на бифиллярном подвесе 5 к верхнему кронштейну 2. На диск крепятся сменные кольца 8. Верхний кронштейн 2, установленный на вертикальной стойке 1, имеет электромагнит и устройство 4 для регулировки бифиллярного подвеса. Маятник со сменными кольцами фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита.

На вертикальной стойке 1 нанесена миллиметровая шкала, по которой определяется ход маятника. На. нижнем кронштейне 3 находится фотоэлектрический датчик 9. Кронштейн обеспечивает возможность перемещения фотодатчика вдоль вертикальной стойки и его фиксирования в любом положении в пределах шкалы

21

секундомер 10 в момент пересечения светового луча диском маятника.

Маятник Максвелла массой m, поднятый на высоту h путем намотки нитей подвеса на стержень маятника, будет иметь потенциальную энергию mgh. После отключения электромагнита маятник начнет раскручиваться, и его потенциальная энергия будет переходить в

кинетическую энергию поступательного движения mv2/2 и энергию вращательного движения Iω2/2. На основании закона сохранения механической энергии (если пре-

где h – ход маятника, v – скорость маятника в момент пересечения оптической оси фотодатчика; I – момент инерции маятника; ω – угловая скорость маятника в тот же момент временя. Из уравнения (5.1) получаем

I = mv2(2gh/v2 – 1)/ω2.

Учитывая, что v = rω, v2 = 2ah, где r – радиус стержня, a – ускорение, с которым опускается маятник, получаем экспериментальное значение момента инерции маятника:

где t – время хода маятника.

Теоретическое значение момента инерции маятника относительно оси маятника определяется по формуле

22