3. Формулировка центральной предельной теоремы

Ответ на вопрос о том, что нормально распределенные случай­ные величины широко распространены на практике был дан выдаю­щимся русским математиком А. М. Ляпуновым (централь­ная предельная теорема): если случайная величина X пред­ставляет собой сумму очень большого числа взаимно неза­висимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример 1.4. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение изме­ряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную истинную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммар­ную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить. Что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному.

Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной тео­ремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распреде­ление, близкое к нормальному.

Пусть - последовательность неза­висимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

.

Введем обозначения:

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если при любом х функция распределения нормированной суммы при стремится к нормальной функции распределения:

.

В частности, если все случайные величины - одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если диспер­сии всех величин конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для при отношение Ляпунова

, где ,

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы оказывало на сумму ничтожное влияние.

Замечание. Для доказательства центральной предельной теоремы А. М. Ляпунов использовал аппарат характеристических функций.

Заключение

Задание студентам для самостоятельной учебной работы, список рекомендуемой литературы и методические указания.

1. Самостоятельно рассмотреть и изучить доказательства теорем Чебышева и Бернулли.

2. Использованная для подготовки лекции литература:

   1. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М., "Эдиториал УРСС", 1999.

   2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -Учеб. Пособие для втузов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш.шк., 2000.

   3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. Пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. -М.: Высш. шк., 2001.

   4. Теория вероятностей: Учебник для вузов. 2-е изд./ А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVI).

0