
- •1.5. Измерение разброса: размах варьирования, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), коэффициент вариации
- •1.6. Условные варианты
- •1.7.Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •1.8. Условные эмпирические моменты. (срс)
- •1.9. Метод произведений для вычисления выборочных средних и дисперсии
- •1.10. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.
- •10. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. (срс)
- •Глава 2. Теория оценок
- •2.1. Выборочные статистики
- •2.2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •2.3. Интервальные оценки. Точность и надежность оценок
- •2.4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности, когда дисперсия 2 генеральной совокупности известна
- •2.5. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной генеральной совокупности
2.3. Интервальные оценки. Точность и надежность оценок
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.
Пусть по данным
выборки
для оценки параметр известного
распределения генеральной совокупности
подобрана статистика
.
Заменяя неизвестное значение
числом
,
мы совершаем ошибку. Тогда случайная
величина
– абсолютное значение ошибки. Если
>0
и |–
|<,
то чем меньше ,
тем оценка точнее. Таким образом,
положительное число
характеризует точность
оценки. Однако
статистические методы не позволяют
категорично утверждать, что оценка
удовлетворяет неравенству |–
|<;
можно лишь говорить о вероятности ,
с
которой это
неравенство осуществляется. Если
известен закон распределения случайной
величины
,
то эту вероятность можно найти
.
Если для небольших
вероятность
достаточно велика,
то число
можно считать точной и надежной оценкой
неизвестного параметра
.
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |— |<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.
Пусть
.
Заменив неравенство | – | < равносильным ему двойным неравенством – <— < , или – < < + , имеем
Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал ( – , + ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .
Доверительным называют интервал ( – , + ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .
2.4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности, когда дисперсия 2 генеральной совокупности известна
Рассмотрим случайную
величину
– выборочное среднее:
.
Так как генеральная
совокупность распределена по нормальному
закону,
тоже имеет нормальное распределение,
,
.
Рассмотрим
интервал
,
или
.
Ширину
этого интервала определим из условия
,
где
– заданная доверительная вероятность.
Можно показать,
что в этом случае
,
где число t
определяется из таблицы функции Лапласа
из условия
.
Таким образом, получаем
.
Смысл полученного
соотношения таков: с надежностью
можно утверждать, что доверительный
интервал
покрывает неизвестный параметр а.
Замечание 1.
Оценку
называют классической. Из формулы
можно сделать
следующие выводы:
при возрастании объема выборки п число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;
увеличение надежности оценки = 2Ф(t) приводит к увеличению t (Ф (t) – возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию ; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.
Замечание 2.
Когда объем
выборки
при
построении доверительного интервала
для a
можно пользоваться нормальным
распределением, подставляя в формулу
для ширины интервала вместо неизвестного
значения
число s,
определяемое по выборке.
Замечание 4.
Оценка истинного значения измеряемой
величины.
Пусть производится п
независимых
равноточных измерений некоторой
физической величины, истинное значение
а которой
неизвестно. Будем рассматривать
результаты отдельных измерений как
случайные величины
.
Эти величины
независимы (измерения независимы), имеют
одно и то же математическое ожидание а
(истинное
значение измеряемой величины), одинаковые
дисперсии
2
(измерения равноточны) и распределены
нормально (такое допущение подтверждается
опытом). Таким образом, все предположения,
которые были сделаны при выводе
доверительных интервалов в предыдущих
параграфах, выполняются, и, следовательно,
мы вправе использовать полученные в
них формулы. Другими словами, истинное
значение измеряемой величины можно
оценивать по среднему арифметическому
результатов отдельных измерений при
помощи доверительных интервалов.