6.7.2. С учётом затухания

Очевидно, что в конструкции амплитуда колебаний не может быть равна бесконечности. Рассчитать амплитуду колебаний и напряжения в балке при резонансе можно только с учётом затухания (сил внутреннего сопротивления) (рис.6.13). Составим уравнение статики ∑υ = 0:

F – I – P(t) + R = 0;

.

Перенесём P₀sinθt в правую часть, поделим на m и окончательно получим

. (6.35)

Не останавливаясь на решении этого уравнения, приведём только формулу для коэффициента нарастания колебаний , (6.36) где n – коэффициент гашения колебаний.

Рис.6.13

Рис.6.14

В момент резонанса при θ = ω

. (6.37)

Из графиков β на рис.6.14 видно, что в момент резонанса коэффициент нарастания колебаний достигает больших значений, хотя и не равен бесконечности. Учитывать затухание имеет смысл только в резонансной области.

Пример. В середине пролёта балки установлен электродвигатель массой m = 400 кг (рис.6.15). Балка изготовлена из двутавра №20: J = 1840 см⁴, W = 184 см³. Ротор двигателя вращается с частотой n = 1500 об/мин. На роторе имеется несбалансированная масса m₀ = 400 г на расстоянии r = 10 см от оси вращения. Проверить прочность балки, если [σ] = 12 кН/см².

Круговая частота возмущающей силы равна угловой скорости вращения ротора

.

Рис.6.15

Определяем частоту собственных колебаний балки по формуле (6.11), пренебрегая при этом массой балки. Сначала находим жёсткость балки (см.пункт 6.5.1):

.

Теперь переведём в основную размерность системы СИ: сила должна быть в ньютонах, линейный размер в метрах с = 220,8 ∙ 1000 ∙ 100 = 22,08 ∙ 10⁶ Н/м. Частота собственных колебаний балки

.

Как видим, частоты не совпадают, причём θ < ω – балка работает в благоприятной дорезонансной области, поэтому нет смысла учитывать затухание. Коэффициент нарастания колебаний определяем по формуле (6.34)

.

Далее необходимо найти максимальное значение возмущающей силы

P₀ = m₀θ²r = 0,4 ∙ 157² ∙ 0,1 = 986 Н = 1 кН.

Определим теперь амплитуду колебаний

.

До включения электродвигателя балка прогнулась от статически приложенного веса мотора:

.

Можно сосчитать динамический коэффициент

.

Динамический коэффициент показывает, во сколько раз увеличиваются перемещения и напряжения в балке за счёт вибрации, возникающей при включении электродвигателя.

Теперь определим напряжения. Наибольшее статическое напряжение при неработающем электродвигателе

.

Наибольшее динамическое напряжение при включённом электродвигателе

.

Прочность обеспечена, т.к. [σ] = 12 кН/см².

6.8. Критическая частота вращения вала

Из практики эксплуатации машин известно, что вращающиеся валы при некоторых вполне определённых для данной машины частотах вращения попадают в резонанс и становятся динамически неустойчивыми – возникают большие поперечные колебания. Число оборотов, при котором обнаруживается указанное явление резонанса, называется критическим.

Рассмотрим вращение двухопорного вала с диском посередине (рис.6.16,а). Ось вала изогнулась, перемещение центра тяжести диска – υ. При вращении вала центр тяжести диска будет двигаться по окружности радиуса υ, и возникнет центробежная сила

I = θ²mυ, (а)

где θ – частота вращения вала,

m – масса диска.

а б

Рис.6.16

Отклонение вала приводит к появлению силы упругости, стремящейся вернуть вал в недеформированное состояние:

F = cυ, (б)

где с – жёсткость вала на изгиб, в нашем случае .

При I < F вращение вала будет устойчивым. В момент равновесия, когда I = F, прогибы вала могут неограниченно возрастать. Приравнивая значения I и F, находим

, (6.38)

или

. (6.39)

Формула (6.38) это фактически формула (6.11) для определения частоты собственных колебаний. Критическая частота вращения (в оборотах в минуту)

. (6.40)

В практических задачах центр тяжести диска имеет некоторый эксцентриситет е по отношению к оси вращения (рис.6.16,б). Для быстроходных машин обязательно применяется предварительная балансировка ротора с целью уменьшить дисбаланс и избежать больших резонансных колебаний.

При наличии эксцентриситета центробежная сила инерции будет равна

I = θ²m(υ + e). (в)

Сила упругости определяется, как и раньше, равенством (б). Уравнение равновесия будет

θ²m(υ + e) = cυ. (6.41)

После несложных преобразований находим

. (6.42)

При наличии эксцентриситета прогиб вала возникает при любой частоте вращения θ. Когда θ достигает критической частоты вращения (θ = ω) прогиб υ  ∞.

В реальных динамических системах при наличии значительного демпфирования в опорах и тщательной балансировки удаётся проходить критический режим при разгоне ротора.

В закритическом режиме при θ > ω  υ < 0, что означает противоположность направлений υ и е. При этом центр тяжести диска расположен ближе к оси вращения, чем точка крепления диска к валу. С увеличением скорости вращения вала прогиб υ уменьшается и приближается к эксцентриситету е, т.е. при очень больших скоростях центр тяжести диска достигает прямой линии, соединяющей опоры, а изогнутый вал вокруг него вращается.