Преобразование полосы для цифровых фильтров.

По аналогии с фильтрами непрерывного времени существует несколько простых преобразований цифрового фильтра нижних частот (с частотой среза w_c) в другой фильтр нижних частот (с другой частотой среза w_u), а также в цифровой фильтр верхних частот, полосовой или режекторный. Ниже приведены формулы для этих преобразований.

1. Фильтр нижних частот Фильтр нижних частот

где

w_u - заданная частота среза фильтра нижних частот.

2. Фильтр нижних частот Фильтр верхних частот

где

w_u - заданная частота среза фильтра верхних частот

3. Фильтр нижних частот Полосовой фильтр

Здесь

w₀ - центральная частота полосового фильтра

4. Фильтр нижних частот Режекторный фильтр

Здесь

w_o - центральная частота режекторного фильтра

Методы реализации цифровых фильтров.

Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно построить различными способами. В любом реальном фильтре шумы и погрешности, появляющиеся при квантовании, существенно зависят от структуры фильтра. Прежде всего все фильтры можно разделить на два больших класса:

· рекурсивные;

· нерекурсивные.

Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью {x(n)} и откликом фильтра {y(n)} может быть записано следующим образом:

т.е. текущий отсчет отклика y(n) определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.

В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид:

т.е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.

Реализация может осуществляться на основе следующих форм построения схем фильтра:

· прямой,

· канонической прямой,

· каскадной,

· параллельной.

Прямая форма.

Рассмотрим передаточную функцию N-го порядка вида:

(12)

причем b₀=1.

Приведя это равенство к общему знаменателю, получим

или

Если рассматривать члены вида z^-kY(z) как обратные z-преобразования последовательностей y(n-k), то, взяв обратные z-преобразования обеих частей последнего равенства, можно получить искомое разностное уравнение:

Поскольку b₀=1, разностное уравнение можно решить относительно y(n) :

Простая структура реализации данного разностного уравнения показана на рис.5. Она носит название прямой формы. В ней для образования цепей, соответствующих числителю и знаменателю формулы (12), используются раздельные элементы задержки. Характерными чертами этой структуры являются ее простота и непосредственная связь с z-преобразованием. Однако эта структура очень чувствительна к квантованию коэффициентов.

рис.5.

Прямая каноническая форма.

Запишем формулу (12) в следующем виде:

Цифровой фильтр, соответствующий этой формуле, состоит из двух последовательно соединенных фильтров с коэффициентами передачи соответственно H₁(z) и H₂(z). Первый фильтр имеет только полюсы, а второй - только нули. Если записать

то получится пара разностных уравнений (в предположении, что b₀=1):

которые можно реализовать, как показано на рис.6. Поскольку в цепях, соответствующих H₁(z) и H₂(z), сигнал w(n) задерживается одинаково, то для построения фильтра достаточно использовать один набор элементов задержки (рис.7). Такую структуру называют канонической формой, т.к. в ней используется минимальное количество сумматоров, умножителей и элементов задержки.

рис.6.

рис.7.