Синтез цифровых фильтров Аналоговые фильтры

Различают два общих класса сигналов: аналоговые и дискретные. Аналоговым сигналом называется сигнал, определенный для каждого момента времени. Дискретным сигналом - сигнал, определенный только в дискретные моменты времени.

Как дискретный, так и аналоговый сигналы могут быть однозначно представлены некоторыми функциями частоты, которые называются их частотными спектрами.

Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-нибудь конкретной составляющей и т.п.

Рассмотрим аналоговый НЧ-фильтр.

Импульсная характеристика: (1)

Отфильтрованный сигнал:

Переходя к дискретному времени получим:

Ограничивая сумму до N и изменяя свертку получается КИХ-фильтр:

Рассмотрим z-преобразование данного уравнения: , где. Подставим (1)

Следовательно , проводя обратное z-преобразование получаем- это рекурсивный фильтр.

Цифровые фильтры и их свойства.

Цифровым фильтром называется цифровая система, которую можно использовать для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован программным методом или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигналов в реальном времени или для фильтрации предварительно записанных сигналов.

Цифровой фильтр можно представить структурной схемой, изображенной на рис.1. На этой схеме x(n) и y(n) - соответственно входное воздействие и реакция фильтра на это воздействие. Функционально они связаны соотношением :

где вид оператора зависит от свойств конкретной системы.

рис.1.

Реакцию цифрового фильтра на произвольное воздействие можно представить с помощью импульсной характеристики фильтра. Допустим, что x(n) - входная , а y(n) - выходная последовательности фильтра, и пусть h(n) - отклик на единичный импульс, называемый импульсной характеристикой. Тогда

Таким образом, x(n) и y(n) связаны соотношением типа свертки.

Частотная характеристика фильтра определяется следующим выражением:

(1.0)

Поскольку частотная характеристика является периодической функцией частоты w, равенство (1.0) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье, причем коэффициенты являются одновременно отсчетами импульсной характеристики. Согласно теории рядов Фурье, коэффициенты h(n) могут быть выражены через :

Из этого соотношения видно, что h(n) по существу является суперпозицией синусоид с амплитудами .

можно представить следующим образом:

называют амплитудной характеристикой фильтра, а - фазовой характеристикой фильтра.

Свойства цифровых фильтров.

1. Цифровой фильтр называется стационарным, если его параметры не изменяются во времени, т.е. предварительно невозбужденный фильтр, в котором x(n)=y(n)=0 при всех n<0 называют стационарным тогда и только тогда, когда

для всех возможных воздействий.

2. Цифровой фильтр называют линейным тогда и только тогда, когда

для всех a и b - произвольных постоянных и всех допустимых воздействий x₁(n) и x₂(n).

3. Цифровой фильтр называют физически реализуемым, если величина отклика при n=n₀ зависит только от значений входной последовательности с номерами n£n₀. Это означает, что импульсная характеристика h(n) равна нулю при n<0.

4. Цифровой фильтр называется устойчивым тогда и только тогда, когда реакция на ограниченное воздействие ограничена, т.е. если из при всех n следует при всех n. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

.

Один наиболее важных классов линейных инвариантных относительно сдвига систем описывается разностным уравнением

, (2.11)

где x(n)– выборки входной последовательности; y(n)– выборки выходной последовательности, а a(k)иb(k)– коэффициенты, определяющие систему или, точнее, фильтр. Вz-области система (2.11) может быть представлена своей передаточной функциейH(z):

. (2.12)

В случае, когда b(0)=1; b(k)=0, , выборки на выходе фильтра зависят лишь от входных выборок без какого-либо обратного влияния предыдущих выборок на текущие. Такие фильтры называются КИХ-фильтрами. Если по крайней мере один из коэффициентовb(k) при отличен от нуля, то такие фильтры называются фильтрами сбесконечной импульсной характеристикой (БИХ).