1.3.3 Домінування чистих стратегій.

Застосування принципу домінування дозволяє іноді зменшити кількість стратегій гравців, тобто розмірність матриці А.

ВИЗНАЧЕННЯ. Строчка з номером і домінує строку з номером k (i k), якщо для усіх; j=1,…,n і існує номер t такий, що .

Домінуючу строку можна викреслити із матриці, так як цієї стратегії 1-й гравець ніколи не буде користуватися. Його виграш при виборі стратегії і завжди буде менше, ніж при виборі k.

ВИЗНАЧЕННЯ. Стовбець j домінує стовбець w (j w), якщо для усіх і=1,…,m і існує номер r такий, що .

Домінуючий стовбець теж можна викреслити. Другий гравець не буде обирати цю стратегію, так як програш його при такому виборі завжди буде не менше, якби він взяв домінуючу стратегію.

ПРИКЛАД. m=3, n=5

A=

Зауважимо, що для 2-го гравця стратегія j=2 домінує 3,4 і 5-у стратегії. Викресливши їх, отримуємо матрицю

Для 1-го гравця в матриці, яка залишилась перша стратегія домінує другу. В результаті маємо матричну гру з матрицею

1.3.4 Розв'язність гри у змішаних стратегіях.

Відповімо тепер на друге поставлене питання. Що робити, якщо в матриці < ? В цьому випадку відмовляються від розглядання тільки множини чистих стратегій і переходять до узагальнення поняття чиста стратегія – це змішана стратегія. І в цьому більш широкому класі стратегій будь-яка матрична гра розв'язна.

Що таке змішана стратегія? Вважається, що гравці грають велику кількість партій, і в цьому задаються вірогідності вибору кожної чистої стратегії( тобто для першого гравця вірогідності вибору кожної строки, а для другого – вірогідність вибору кожного стовпця).

ВИЗНАЧЕННЯ. Змішаною стратегією 1-го гравця називається вектор р= , де >0, і=1,…,m

Зауваження. Знак T означає транспонований вектор, так як вектор звичайно розуміється як вектор-стовбець.

ВИЗНАЧЕННЯ. Змішаною стратегією 2-го гравця називається вектор q= , де >0, j=1,…,n

Величина є вірогідністю вибору строки і першим гравцем для усіх і=1,…,m; - вірогідність вибору стовпця j вторим гравцем j=1,…,n.

Позначимо множина змішаних стратегій 1-го гравця, – множина змішаних стратегій 2-го гравця. Ясно, що в множині лежать усі чисті стратегій 1-го гравця, а в – усі чисті стратегій 2-го гравця, тобто змішані стратегії є узагальненою множиною чистих стратегій. Дійсно, якщо розглянути вектор з m компонентами, у якого на 1-му місці 1, а інші нулі, тобто

i

і вектор з n компонентами

j

,

То ясно, що p  ,q 

Змістовно вектор означає, що з вірогідністю 1 буде вибрана і-а строка (і-а чиста стратегія), а вектор а – з вірогідністю 1 буд вибрана j-ий стовбець (j-а чиста стратегія).

ВИЗНАЧЕННЯ. Для змішаних стратегій функція виграшу визначається, як математичне очікування виграшу 1-го гравця

,

Тобто елементи матриці береться з відповідними ймовірностями. Якщо взяти чисті стратегії та , то Е( , )= , тобто приведене визначення функції виграшу в цьому випадку співпадає з раннім визначенням виграшем для чистих стратегій.

Розглянемо, яким чином визначається нижня і верхня ціни гри у змішаних стратегіях. Зафіксуємо змішану стратегію р для першого гравця і знайдемо

для кожного p  ,q 

ВИЗНАЧННЯ. Нижньою ціною гри у змішаних стратегіях називається величина

Аналогічно для другого гравця для усіх q  розрахуємо

ВИЗНАЧННЯ. Верхньою ціною гри у змішаних стратегіях називається величина

ВИЗНАЧЕННЯ. В матричній моделі з матрицю А, пара змішаних стратегій ( ) створюють сідлову точку, якщо виконуються нерівності

Е( )<E( )<E( ) для усіх p  ,q 

Наступна теорема відповідає на друге поставлене питання.

ТЕОРЕМА 2 (фон Неймана). В матричній грі завжди існує пара стратегій (змішаних) ( ) таких що

1. Е( )<E( )<E( ) для усіх p  ,q 

2. Верхня ціна гри співпадає з нижньою ціною гри.

Іншими словами, будь-яка матрична гра розв'язна у множині змішаних стратегій.