4. Взаємне розміщення прямих і площин. Паралельність у просторі.
Знання про взаємне розміщення прямих і площин лежать в основі вивчення властивостей геометричних фігур як в планіметрії, таке і в стереометрії.
Вивчення взаємного розміщення прямих і площин в шкільному курсі математики можна поділити на три етапи:
підготовча (пропедевтична) робота по ознайомленню учнів з взаємним розташуванням прямих на площині і деякими просторовими фігурами в 1-6 класах;
систематичне вивчення взаємного розташування прямих на площині в 7-9 класах;
систематичне ви вчення взаємного розташування прямих і площин в просторі в 10-11 класах.
Паралельність в просторі
В шкільному курсі геометрії (стереометрії) тема "Паралельність в просторі" складається із чотирьох самостійних частин, а саме:
паралельність прямих в просторі, мимобіжні прямі;
паралельність прямої і площини;
паралельність площин в просторі;
паралельна проекція і її властивості, зображення просторових фігур на площині.
В діючих підручниках з геометрії (стереометрії) розглядається означення паралельних прямих: "Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються".
Паралельність прямих і площин
В дев'ятирічній школі розглядають основні питання теорії паралельності, яка викладається без належної повноти і строгості, але утворює достатню базу для розгляду паралельності в просторі. Учення про паралельність прямих в курсі планіметрії можна розділити на слідуючі частини:
означення паралельних прямих;
існування паралельних прямих;
побудова паралельних прямих;
аксіома паралельних;
властивості паралельних прямих;
ознаки паралельних прямих;
застосування вивченої теорії.
Паралельність прямої і площини
Формулювання означень паралельності прямої і площини в навчальних посібниках, так же як і підходи до вивчення різні.
Паралельність площин
Формулювання означень паралельності площин в навчальних посібниках, також як підходи до вивчення різні.
Дві площини називаються паралельними, якщо вони:
1) Не мають спільної точки 2) не перетинаються
(Атанасян Л.С.) (Погорелов О.С., Бевз Г.П.)
Із означення паралельності площин, однак не слідує існування паралельних площин. Існування доводиться наступною теоремою.
Теорема. Існує єдина площина, яка проходить через точку, яка не належить даній площині, і паралельна цій площині.
В діючих підручниках з геометрії доводяться теореми: ознака паралельності двох площин (методом від супротивного), властивості паралельних площин, стосовно існування площини, паралельної даній, але в геометрії О.В. Погорєлова це теорема, а геометрія Г.П. Бевза- задача.
Головне, суттєве в темі: означення паралельності площин, ознака паралельності площин і опорні (базові) задачі.
5 Методика вивчення векторів у просторі. Дії над векторами та їх властивості.
Вектори на площині учні вивчають на початку 9 класу. Поняття вектора вводиться як напрямлений відрізок, або клас напрямлених відрізків. Вводиться поняття абсолютної величини і напрямку вектора, його координат, сума векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів.
Найзручніше вектори позначати у координатній формі. Нехай вектору а на координатній площині відповідає напрямний відрізок АВ, такий, що А (х1, у1), В (х2,у2), х2-х1=а1, у2-у1=а2 називаються координатами вектора а (а1, а2).
В просторі, як і на площині вектор вводиться як напрямлений відрізок. Означуються основні поняття. За допомогою векторів записують рівняння площини ах+by+cz=0.
Слід ввести такі властивості векторів:
1. а (а1, а2)+b (b1, b2) = c (a1+b1, a2+b2).
2. λа (а1, а2) = c (λа1, λа2).
3. а (а1, а2)* b (b1, b2)=a1b1+a2b2.
З цих операцій слідує, що а+b=b+а, а+(b+с)=(а+b)+с, (α+β)а= αа+βа, α(а+b)= αа+αb, (а+b)с=ас+bс, аb=|a||b|cos (a^b).
2. Додавання векторів. Правило трикутника
Правило паралелограма
Сумою двох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.
Правило паралелепіпеда
Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.
Властивості додавання
1)
- комутативність;
2)
асоціативність;,
3)
;
4) якщо
то
і називається
протилежним.
Віднімання векторів
Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо.
Множення вектора на число.
Добутком
на число k називають
вектор, який має довжину
і
співнапрямлений з
якщо k > 0 та
протилежний до нього, якщо k < 0.
Скалярний добуток векторів.
Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
