Пример 3. Расчет нелинейной электрической цепи постоянного тока

В цепи, изображённой на рис. 3.1, известно входное напряжение U и заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элементов НЭ₁, НЭ ₂, НЭ ₃. Требуется определить токи во всех ветвях, если U  = 9 В.

Решение. Начинаем расчет с построения на рис. 3.2 в одной системе координат ВАХ всех элементов цепи (НЭ₁, НЭ ₂, НЭ ₃).

Рисунок 3.1 – Схема нелинейной

цепи постоянного тока со смешан-

ным соединением элементов

Далее строим эквивалентную ВАХ резисторов НЭ₂ и НЭ₃, включенных параллельно. Для этого на оси напряжений выбираем точки (удобно выбрать все оцифрованные). Из каждой точки проводим перпендикуляр к оси напряжений. В качестве примера на рисунке перпендикуляр восстановлен из точки (7 В). На перпендикуляре суммируем два отрезка. Один из них заключен между осью U и точкой пересечения перпендикуляра с ВАХ I₂ = f(U₂) (отрезок 1). Второй заключен между осью U и точкой пересечения перпендикуляра с ВАХ I₃ = f(U₃) (отрезок 2). Точка А, получаемая в результате суммирования на данном перпендикуляре отрезков 1 и 2, находится на эквивалентной ВАХ (I₂ +I₃) = f(U_ab) резисторов НЭ₂ и НЭ₃. Выполнив рассмотренную операцию суммирования отрезков для каждого перпендикуляра, мы имеем ряд точек. Соединив эти точки линией, получаем эквивалентную ВАХ резисторов НЭ₂ и НЭ₃ (I₂ +I₃) = f(U_ab).

Затем выбираем точки на оси токов и проводим из них перпендикуляры к этой оси. На рис.3.2 в качестве примера восстановлен перпендикуляр из точки 4,6 mА. На перпендикуляре суммируем два отрезка. Один заключен между осью токов и точкой пересечения перпендикуляра с ВАХ (I₂ +I₃) = f(U_ab) (отрезок 3), а второй находится между осью токов и точкой пересечения перпендикуляра с ВАХ I₁ = f(U₁) (отрезок 4). После суммирования получаем на этом перпендикуляре точку В. Выполнив суммирование отрезков на всех перпендикулярах к оси токов, имеем ряд точек. Соединяем эти точки линией и получаем эквивалентную ВАХ всей цепи I₁ = f(U).

Рисунок 3.2 – Графический метод расчета нелинейной цепи

со смешанным соединением элементов

Для определения токов ветвей из точки на оси напряжений, соответствующей заданному напряжению (в нашем примере U= 9 В), строим перпендикуляр к этой оси. Находим место пересечения перпендикуляра с ВАХ I₁ = f(U) всей цепи (точка С). Ордината этой точки есть ток I₁, протекающий в первой ветви через резистор НЭ₁ (в нашем примере I₁ = 5,7 mА). Опускаем из точки С на ось токов перпендикуляр. Место пересечения его с ВАХ (I₂ +I₃) = f(U_ab) резисторов НЭ₂ и НЭ₃ дает нам точку D. Абсцисса этой точки есть напряжение на разветвленном участке цепи (в нашем примере U_ab = 4,3 В). Из точки D проводим перпендикуляр на ось напряжений. В местах пересечения его с ВАХ I₂ = f(U₂) и ВАХ I₃ = f(U₃) ставим точки Е и F. Ординаты этих точек есть токи I₂ и I₃ (в нашем примере I₂ = 2,1 mА, I₃ = 3,6 mА). Таким образом, I₁= 5,7 mА, I₂ = 2,1 mА, I₃ = 3,6 mА. На рис.3.2 путь от заданного напряжения до искомых токов обозначен стрелками.

В данном примере рассмотрен наиболее общий случай, когда все элементы цепи нелинейные. Если в задаче один или два элемента линейные, то ход решения не меняется, отличие будет лишь в том, что при первоначальном вычерчивании соответствующие ВАХ будут прямолинейными. Для их вычерчивания необходимо произвольно (в пределах напряжений, используемых для построения ВАХ нелинейных резисторов) задаться значением напряжения. Разделив это напряжение на величину сопротивления линейного резистора, получаем ток. Используем выбранное значение напряжения и рассчитанную величину тока в качестве координат для нахождения точки на плоскости. Через полученную точку и начало координат проводим прямую, которая и будет ВАХ линейного резистора с заданным в условии задачи сопротивлением.