Тема 5. Дослідження системи аксіом геометрї

1. Завдання обґрунтування системи аксіом.

2. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим).

3. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії.

4. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.

Контрольні запитання

1. Які вимоги повинна задовольняти система аксіом геометрії?

2. Яка система аксіом називається несуперечливою? Повною? Незалежною?

3. Що таке реалізація (інтерпретація) системи аксіом?

4. Яким чином будується арифметична (декартова) реалізація системи аксіом евклідової геометрії за О.В. Погорєловим? Який конкретний зміст надається в цій реалізації таким основним поняттям як «точка», «пряма», «довжина відрізка», «належати»?

5. Покажіть, що в декартовій інтерпретації основних понять евклідової геометрії виконуються: а) аксіоми належності; б) аксіома існування відрізка даної довжини; в) аксіома паралельних.

6. Обґрунтуйте несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії за О.В. Погорєловим.

7. Які реалізації системи аксіом математичної теорії називаються ізоморфними?

8. Доведіть, що коли всі реалізації системи аксіом ізоморфні, то ця система аксіом повна.

9. Наведіть схематичне доведення повноти системи аксіом евклідової геометрії за О.В. Погорєловим.

10. Дайте схематичне доведення незалежності аксіоми паралельних та аксіоми існування відрізка даної довжини.

11. Який конкретний зміст надається в арифметичній реалізації основним поняттям системи аксіом Вейля?

12. Обґрунтуйте несуперечливість системи аксіом Вейля в арифметичній інтерпретації.

13. Доведіть незалежність деяких аксіом системи Вейля.

14. Покажіть, що система аксіом Вейля повна.

16. Який конкретний зміст надається основним поняттям площини Лобачевського в інтерпретації Вельтрамі - Клейна?

16. Наведіть приклади реалізації деяких аксіом абсолютної геометрії в інтерпретації Бельтрамі - Клейна.

17. Доведіть, що в реалізації Бельтрамі – Клейна виконується аксіома паралельності Лобачевського.

18. Який конкретний зміст надається основним поняттям площини Лобачевського в реалізації Пуанкаре?

19. Наведіть приклади реалізації деяких аксіом абсолютної геометрії в інтерпретації Пуанкаре.

20. Доведіть, що в інтерпретації Пуанкаре реалізується аксіома паралельності Лобачевського.

Тема 6. Аксіоматика шкільного курсу геометрї

1. Огляд різних підходів до аксіоматичної побудови шкільного курсу геометрії.

2. Система аксіом Л.С. Атанасяна.

3. Система аксіом О.Д. Александрова.

4. Система аксіом О.В. Погорєлова.

5. Система аксіом в сучасних підручниках з геометрії.

Контрольні запитання

1. Які ви знаєте підручники з геометрії для середніх навчальних закладів Росії в XIX ст.?

2. Дайте коротку характеристику змісту підручника з геометрії для середньої школи А.П. Кисельова.

3. Дайте коротку характеристику змісту підручника з геометрії для середньої школи за ред. А.М. Колмогорова.

4. Назвіть основні (неозначувані) поняття і відношення в аксіоматиці підручника з геометрії для 7-9 класів за ред. Л.С. Атанасяна.

5. Назвіть аксіоми планіметрії підручника з геометрії для 7-9 класів за ред. Л.С. Атанасяна.

6. Назвіть аксіоми стереометри та наслідки з них за підручником з геометрії для 10-11 класів за ред. Л.С. Атанасяна.

7. Дайте характеристику системи аксіом підручника з геометрії для 8-9 класів для шкіл і класів з поглибленим вивченням математики за ред. О.Д. Александрова.

8. Назвіть аксіоми стереометрії підручника з геометрії для 10-11 класів за ред. О.Д. Александрова.

9. З'ясуйте основне завдання у викладанні геометрії за підручником з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

10. Назвіть основні поняття і відношення аксіоматики підручника з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

11. Сформулюйте аксіоми планіметрії підручника з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

12. Сформулюйте аксіоми стереометрії та наслідки з них підручника з геометрії для 7-11 класів О.В. Погорєлова.

13. Дайте характеристику основних особливостей, відмінностей підручника О.В. Погорєлова від інших шкільних підручників з геометрії для середньої школи.