- •Раздел 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. Содержание
- •Введение
- •§1. Высказывания, операции над высказываниями п.1. Высказывания.
- •П.2. Отрицание высказывания.
- •П.3. Дизъюнкция высказываний.
- •П.4. Конъюнкция высказываний.
- •П.5. Импликация высказываний.
- •П.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний.
- •§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики п.1. Определение формул алгебры высказываний.
- •П.2. Законы логики.
- •§3. Предикаты. Кванторы общности и существования п.1. Определение предиката.
- •П.2. Логические операции алгебры предикатов.
- •П.3.Равносильность предикатов.
- •П.4. Квантор общности.
- •П.5. Квантор существования.
- •П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
- •§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.
- •П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •П.3. Противоположные теоремы.
- •П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).
- •§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.
- •П.2. Подмножества.
- •П3. Пустое множество.
- •П.4. Операции над множествами.
- •П.5. Свойства операций над множествами.
- •П.6. Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •§6. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и фактор множества. Функции. Отношение порядка. П.1. Прямое произведение множеств.
- •П.2. Бинарные отношения.
- •Виды бинарных отношений.
- •Изображение бинарных отношений графами.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •П.3. Отношение эквивалентности и фактор множества.
- •П.4. Отношение порядка.
- •Упорядоченные множества.
- •П.5. Функции (отображения).
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функции (сложная функция). Суперпозиция функции.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •Задачи.
П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).
Определение. Теорема, противоположная обратной, называется , записывается: : .
Запишем теорему, противоположную обратной теореме :
: ( , - углы), ( ( , - не вертикальные)) – если углы и не равны, то они не вертикальные – это истинное высказывание. Таким образом, теоремы и имеют одинаковые логические значения.
Предложение: теоремы и (противоположная обратной) имеют одинаковые логические значения.
Замечание: доказательство от противного часто сводится к доказательству теоремы, противоположной обратной.
§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.
Описание множества: под словом множество понимается совокупность объектов, которая рассматривается как одно целое. Вместо слова «множество» иногда говорят «совокупность», «класс».
Определение. Объект, входящий во множество, называется его элементом.
Запись обозначает, что является элементом множества . Запись обозначает, что не является элементом множества . Про любой объект можно сказать, является он элементом множества или нет.
- истина.
Не существует объекта, который одновременно принадлежит множеству и не принадлежит.
- ложь.
Множество не может содержать одинаковых элементов, т.е. если из множества, содержащего элемент , удалить элемент , то получится множество, не содержащее элемент .
Определение. Два множества и называются равными, если они содержат одни те же элементы.
;
П.2. Подмножества.
Определение. Говорят, что множество является подмножеством , если каждый элемент из множества лежит во множестве , пишут: . Другими словами:
- истина.
Для любых множеств , , выполняются свойства:
Рефлективность: .
Доказательство: - истина .
Транзитивность: .
Доказательство: .
Антисимметричность: .
Доказательство: множества состоят из одинаковых элементов.
Для любого предиката , определенного для множества , существует множество, состоящее из тех элементов множества , для которых истинно.
Пример.
- множество действительных чисел.
- множество положительных действительных чисел
- множество отрицательных действительных чисел
- множество положительных действительных чисел и нуль
- множество натуральных чисел
- множество натуральных чисел и нуль
- множество целых чисел
, , , , , , .
П3. Пустое множество.
Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначается: .
.
Свойства пустых множеств.
Пустое множество единственно.
Доказательство: , - пустые множества. .
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Доказательство: .
П.4. Операции над множествами.
Определение. Объединением двух множеств и называется множество, которое состоит из элементов множеств и , и не содержит никаких других элементов.
Обозначается : .
Д иаграмма Эйлера – Венна:
Определение. Пересечением множеств и называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих множеству и множеству , и не содержит других элементов.
Обозначается: .
Д иаграмма Эйлера – Венна:
Определение. Разностью двух множеств и называется множество, которое состоит из тех элементов , которые не принадлежат множеству , и не содержит других элементов.
Обозначается: .
Д иаграмма Эйлера – Венна:
Определение. Симметрическойой разностью множеств и , обозначается , (или дизъюнктивной суммой, обозначается ), называется множество всех элементов, принадлежащих или множеству или множеству , но не обоим вместе.
Д иаграмма Эйлера – Венна: