- •Раздел 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. Содержание
- •Введение
- •§1. Высказывания, операции над высказываниями п.1. Высказывания.
- •П.2. Отрицание высказывания.
- •П.3. Дизъюнкция высказываний.
- •П.4. Конъюнкция высказываний.
- •П.5. Импликация высказываний.
- •П.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний.
- •§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики п.1. Определение формул алгебры высказываний.
- •П.2. Законы логики.
- •§3. Предикаты. Кванторы общности и существования п.1. Определение предиката.
- •П.2. Логические операции алгебры предикатов.
- •П.3.Равносильность предикатов.
- •П.4. Квантор общности.
- •П.5. Квантор существования.
- •П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
- •§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.
- •П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •П.3. Противоположные теоремы.
- •П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).
- •§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.
- •П.2. Подмножества.
- •П3. Пустое множество.
- •П.4. Операции над множествами.
- •П.5. Свойства операций над множествами.
- •П.6. Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •§6. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и фактор множества. Функции. Отношение порядка. П.1. Прямое произведение множеств.
- •П.2. Бинарные отношения.
- •Виды бинарных отношений.
- •Изображение бинарных отношений графами.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •П.3. Отношение эквивалентности и фактор множества.
- •П.4. Отношение порядка.
- •Упорядоченные множества.
- •П.5. Функции (отображения).
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функции (сложная функция). Суперпозиция функции.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •Задачи.
§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики п.1. Определение формул алгебры высказываний.
Переменные высказывания часто называют элементарными высказываниями. Они принимают логические значения истина или ложь. Иногда переменные высказывания называются элементарными формулами или атомами или пропозиционарными переменными.
Определение. Формулой алгебры высказываний называется такая формула, для которой выполнены следующие условия:
каждый атом – формула;
если и - формулы, то , , , , - тоже формулы;
только те формулы являются формулами алгебры логики, которые удовлетворяют условию 1) и 2).
Порядок выполнения операций в формуле задаётся скобками. Число скобок в формулах можно уменьшить, введя соглашение:
в сложных формулах будем опускать внешнюю пару скобок;
упорядочим знаки логических операций по старшинству: . В этом списке имеет самую большую область действия, а самую маленькую.
П.2. Законы логики.
Существуют формулы, которые принимают значение «истина» независимо от того, какие значения принимают входящие в них атомы. Такие формулы называются законами алгебры логики высказываний.
Определение. Формула алгебры логики называется законом алгебры логики высказываний или тождественно истинной формулой или тавтологией, если при любых значениях атомов, входящих в эту формулу, значение этой формулы «истина».
Примеры законов алгебры логики высказываний.
Закон контрапозиции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
Формула принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
Закон исключенного третьего: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
и |
л |
и |
л |
и |
и |
Формула 2 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.
Закон двойного отрицания: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
Формула 3 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.
Закон коммутативности конъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
Формула 4 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
Закон ассоциативности конъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
Формула 5 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , и , значит, является законом алгебры логики.
Закон коммутативности дизъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
Формула 6 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
Закон ассоциативности дизъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
формула 7 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , и , значит, является законом алгебры логики.
Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
Формула 8 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , и , значит, является законом алгебры логики.
Закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
Формула 9 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , и , значит, является законом алгебры логики.
Закон построения отрицания конъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
Формула 10 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
Закон построения отрицания дизъюнкции: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
Формула 11 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
.
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
Формула 12 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
Закон отрицания импликации: .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
Формула 13 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
.
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
Формула 14 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
.
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
( |
|
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
Формула 15 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.
16. .
Доказательство: составим таблицу истинности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
Формула 16 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и , значит, является законом алгебры логики.