- •Раздел 1. Элементы математической логики, теории множеств. Основные понятия алгебраических структур: группы, кольца, поля. Глава 1. Элементы математической логики и теории множеств. Содержание
- •Введение
- •§1. Высказывания, операции над высказываниями п.1. Высказывания.
- •П.2. Отрицание высказывания.
- •П.3. Дизъюнкция высказываний.
- •П.4. Конъюнкция высказываний.
- •П.5. Импликация высказываний.
- •П.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний.
- •§2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики п.1. Определение формул алгебры высказываний.
- •П.2. Законы логики.
- •§3. Предикаты. Кванторы общности и существования п.1. Определение предиката.
- •П.2. Логические операции алгебры предикатов.
- •П.3.Равносильность предикатов.
- •П.4. Квантор общности.
- •П.5. Квантор существования.
- •П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кванторы. Законы Де Моргана.
- •§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.
- •П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.
- •П.3. Противоположные теоремы.
- •П.4. Теорема, противоположная обратной (доказательство от противного).
- •§5. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). П.1. Множества.
- •П.2. Подмножества.
- •П3. Пустое множество.
- •П.4. Операции над множествами.
- •П.5. Свойства операций над множествами.
- •П.6. Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •§6. Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и фактор множества. Функции. Отношение порядка. П.1. Прямое произведение множеств.
- •П.2. Бинарные отношения.
- •Виды бинарных отношений.
- •Изображение бинарных отношений графами.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •П.3. Отношение эквивалентности и фактор множества.
- •П.4. Отношение порядка.
- •Упорядоченные множества.
- •П.5. Функции (отображения).
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функции (сложная функция). Суперпозиция функции.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •Задачи.
§1. Высказывания, операции над высказываниями п.1. Высказывания.
Определение. Высказыванием называется всякое предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.
Пример. Пусть - предположение - «Москва – столица РФ». - Это истинное высказывание.
- «Каждый студент нашего университета - отличник». - Это ложное высказывание.
- «Треугольник Х – равносторонний». - Не высказывание.
Не всякое предположение является высказыванием, например, определение не является высказыванием.
П.2. Отрицание высказывания.
Определение. Отрицанием высказывания называется новое высказывание, которое обозначается , и которое истинно, если ложно, и ложно, если истинно.
Читается: не ; неверно, что ; не верно.
Таблица истинности отрицания.
|
|
и |
л |
л |
и |
Пример. «Неверно, что Москва столица РФ». - Ложное высказывание.
«Неверно, что каждый студент нашего университета - отличник». - Истинное высказывание.
П.3. Дизъюнкция высказываний.
Определение. Дизъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, которое обозначается , и которое истинно, если хотя бы одно из высказываний или истинно, а в остальных случаях ложно.
Читается: дизъюнкция ; или ; или , или .
Таблица истинности дизъюнкции.
|
|
|
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
П.4. Конъюнкция высказываний.
Определение. Конъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, которое обозначается , и, которое истинно, если и одновременно истинны, ложно во всех остальных случаях.
Читается: конъюнкция ; и ; и и ; одновременно с .
Таблица истинности конъюнкции.
|
|
|
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
П.5. Импликация высказываний.
Определение. Импликацией высказываний и называется новое высказывание, которое обозначается , и которое ложно, если истинно, - ложно и истинно во всех остальных случаях.
Читается: импликация ; из следует ; если , то .
Таблица истинности импликации.
|
|
|
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
- условие или посылка импликации, - заключение импликации.
П.6. Равносильность (эквивалентность) высказываний.
Определение. Эквивалентностью двух высказываний и называется новое высказывание, которое обозначается и, которое истинно, если и имеют одинаковые логические значения и ложно в остальных случаях.
Читается: эквивалентно ; равносильно ; тогда, и только тогда, когда .
Таблица истинности эквивалентности.
-
и
и
и
и
л
л
и
и
л
и
л
и
Замечание. Из данных высказываний с помощью логических операций можно построить новые высказывания.
Пусть - «2 = 4». - Ложное высказывание.
. - Ложное высказывание.
. - Ложное высказывание.
Такие высказывания называются составными высказываниями