П.6.Построение отрицания высказываний, содержащих кван­торы. Законы Де Моргана.

Рассмотрим предикат: - « - простое число». Тогда

- «все числа простые» – ложное высказывание. Построим отрицание: - «неверно, что все числа простые». Это пред­ложение можно сформулировать иначе, оставив тот же смысл – «суще­ствуют не простые числа»: . Получим, что - закон Де Моргана.

При построении отрицания высказывания, содержащего квантор общности, этот квантор общности заменяется на квантор существования, а предикат заменяется на своё отрицание.

Рассмотрим высказывание - «существуют чётные числа». Рассмот­рим отрицание этого высказывания: - «неверно, что сущест­вуют чётные числа». Иначе это предложение можно сформиро­вать – «все числа нечётные». Запишем это предложение формулой: . Получили

- закон Де Мор­гана.

При построении отрицания высказываний, содержащих квантор существования, нужно квантор существования заменить на квантор общности, а предикат - его отрицанием. Аналогично строится отри­цание высказываний, содержащих несколько кванторов: квантор общности заменяется на квантор существования, квантор существова­ния - на квантор общности, предикат заменяется своим отрицанием.

Пример. - «каждый студент получил оценку» - Ис­тинное высказывание.

- «все студенты получили одну оценку» - Ложное вы­сказывание.

§4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного п.1.Стандартная форма записи теоремы.

Рассмотрим теорему 1.

: если углы вертикальные, то они равны. Запишем теорему с помощью символов.

: ( , - вертикальные углы), следовательно, .

: если две прямые параллельны, то всякий перпендикуляр, про­веденный к одной из них, является перпендикуляром к другой.

Запишем теорему с помощью символов.

: ( , , - прямые), , следова­тельно, .

Запись теоремы в стандартной форме не единственна. Сущест­вуют теоремы, которые нельзя записать в стандартной форме. Напри­мер, теоремы существования.

Определение. Будем говорить, что теорема записана в стан­дартной форме, если её можно записать в форме ,где , - n-местные предикаты. Предикат называется условием тео­ремы, а - заключением теоремы.

П.2. Обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.

Определение. Теоремой, обратной к теореме называют тео­рему , которая записывается в следующей стандартной форме: : .

Построим теорему, обратную к теореме .

: ( - углы) ( ( - вертикальные)). - Лож­ное высказывание.

Если - истина, то предикат называется достаточ­ным условием для предиката . А - необходимое ус­ловие для предиката . Если и - истинны, то преди­каты , называется необходимыми и достаточными условиями.

Например, в теореме условие: , - вертикальные углы, это достаточное условие для предиката , а предикат - это не­обходимое условие для предиката , - вертикальные углы. Т.к. тео­рема - ложная, то эти условия не являются необходимыми и доста­точными условиями.

П.3. Противоположные теоремы.

Пусть теорема записана в стандартной форме.

Определение. Теорема :

- называется проти­воположной теореме .

Пример. : ( , - углы), ( ( , - не вертикаль­ные) ) – если углы не вертикальные, то они не равны – лож­ная теорема.