
- •Моделювання економічного ризику
- •8.1. Теоретико-ігрова модель
- •8.1.1. Концепція теорії гри
- •8.1.2. Економічне середовище
- •8.1.3. Функціонал оцінювання
- •8.1.4. Функція ризику
- •8.1.5. Матриця ризику
- •8.1.6. Неперервний випадок
- •8.2. Інформаційна ситуація
- •8.3. Прийняття рішень в умовах ризику
- •8.4. Критерії прийняття рішень
- •8.4.1. Перша інформаційна ситуація (і1)
- •8.4.1.1. Критерій Байєса
- •8.4.1.2. Модальний критерій
- •8.4.1.3. Критерій мінімального сподіваного значення несприятливих відхилень від моди
- •8.4.1.4. Критерій мінімальної дисперсії
- •8.4.1.5. Критерій мінімальної семіваріації
- •8.4.1.6. Критерій мінімального коефіцієнта варіації
- •8.4.1.7. Критерій мінімального коефіцієнта семіваріації
- •8.4.2. Друга інформаційна ситуація (і2)
- •8.4.3. Третя інформаційна ситуація (і3)
- •8.4.3.1. Ряд пріоритетів. Перша формула Фішберна
8.4.1.1. Критерій Байєса
Критерій Байєса також називають критерієм середньозваженого (сподіваного) прибутку, затрат, ризику тощо.
Згідно з критерієм
Байєса у
випадку, коли F = F+,
оптимальним рішенням
вважається таке, для якого математичне
сподівання відповідного вектора
оцінювання досягає найбільшого можливого
значення, тобто
знаходять, виходячи з умови:
:*)
В+(
;
Р)
=
В+(хk;
Р),
де В+(хk;
Р)
=
=
М(F
).
Якщо ж F = F–, то оптимальне рішення визначається, виходячи з умови:
:
(
;
Р)
=
(хk;
Р),
де
(хk;
Р)
=
= М(
).
Якщо максимум досягається на кількох рішеннях з множини Х (множину яких позначимо через Х*), то такі рішення називаються еквівалентними відносно даного критерію.
Описаний підхід до визначення оптимальної стратегії в теорії статистичних рішень називається байєсівською стратегією.
Величина В+(хk; Р) (чи В–(хk; Р)) називається байєсівською оцінкою рішення хкХ.
У теорії статистичних рішень доводиться, що стратегія , яка є оптимальною з точки зору Байєса (у випадку, коли F = F+ чи F = F–), збігається зі стратегією, яка мінімізує сподіваний ризик (тобто стратегія, яка є оптимальною за критерієм Байєса, водночас є оптимальною з позиції мінімуму сподіваного ризику невикористаних можливостей).
Якщо функціонал
оцінювання задано в ризиках, то відповідну
величину
називають байєсівським
ризиком рішення
Розв’язання. Розподіл ймовірності станів ЕС був установлений під час розв’язання прикладу 8.2:
.
Знаходимо оцінки Байєса для відповідних рішень:
Оскільки ФО має
позитивний інгредієнт
,
то з урахуванням того, що
,
оптимальним для дилера згідно з критерієм Байєса є рішення х3 — закупка 6 кошиків малини.
Якщо ж тепер в
якості ФО використати матрицю
невикористаних можливостей
(приклад 8.3), то отримаємо Байєсівські
ризики для відповідних рішень:
Оскільки функціонал
оцінювання
має негативний інгредієнт,
,
то (як і раніше) робимо висновок про оптимальність рішення x3 (на цей раз — з позиції Байєсівського ризику).-
8.4.1.2. Модальний критерій
У випадку, коли
оптимальне рішення
відшукується
з умови:
,
де
— мода
випадкової величини
.
У дискретному
випадку
відповідає станові ЕС, ймовірність
настання якого є найбільшою, в неперервному
випадку — точці максимуму функції
щільності розподілу ймовірності.
У випадку, коли
.
8.4.1.3. Критерій мінімального сподіваного значення несприятливих відхилень від моди
У випадку, коли
+
чи
,
,
де
— сподіване
значення
несприятливих відхилень від моди для
рішення хk;
— сумарна
ймовірність настання несприятливих
відхилень (у випадку, коли
,
значення сподіваного несприятливого
відхилення покладається рівним нулеві,
тобто
),
— вектор індикаторів несприятливих
відхилень по відношенню до модального
значення (хk;
Мо()).
Наприклад, у випадку, коли +, для рішення хk
.
Приклад 8.5. Виходячи з умови задачі про фруктового дилера (приклад 8.2), знайти рішення, яке є оптимальним з позицій:
а) модального критерію;
Розв’язання:
а)
Оскільки з найбільшою ймовірністю може
настати випадкова подія 3 ( Р(3) = 0.4 ),
то Мо() = 3.
Так як ФО має позитивний інгредієнт
(
+),
то з урахуванням того, що max{f(x1;
3);
f(x2;
3);
f(x3;
3);
f(x4;
3);
f(x5;
3)} = 60 = f(x3;
3),
оптимальним
для дилера згідно з модальним критерієм
є рішення
х3 ( = х3).
б) Оскільки Мо() = 3, то несприятливі відхилення задовольняють умову:
f(хk: j) < f(xk; Mo()) = f(xk;3); k = 1, ..., m.
Оскільки для
рішення х1
величина f(x1; Mo()) = 40,
то всі
відхилення є сприятливими, тобто
1 = {11;
12;
13;
14;
15;} =
= {0;
0; 0; 0; 0; 0;},
а тому
величина сподіваного відхилення також
дорівнює нулеві:
.
Для рішення х2:
f(x2;
Mo()) = 50;
2 = {1;0;0;0;0};
= 1
· 0,1 = 0,1;
=50
–
· 1
· 0,1
· 25 = 25.
Для рішення х3:
f(x3;
Mo())
= 60; 3
=
{1;1;0;0;0};
=
0,1 + 0,2 = 0,3;
= 60 –
· (10
· 0,1 + 35
· 0,2) = 33,33.
Для рішення х4:
f(x4;
Mo())
= 45; 4
= {1;
1; 0; 0; 0};
=
0,3;
=45
–
· (– 5
· 0,1 + 20
· 0,2) = 33,33.
Для рішення х5:
f(x5;
Mo())
= 60; 5
= {1;
1; 0; 0; 0};
=
0,3;
= 30 –
· (– 20
· 0,1 + 5
· 0,2) = 33,33.
Оскільки min{
;
;
;
;
} = 0 =
,
то з позиції даного критерію найкращим
слід вважати рішення х1,
після нього — рішення х2,
решту рішень — еквівалентних між собою.-