1.4. Приближенные вычисления.

п.1. Точные и приближенные числа.

Все числа, с которыми приходится иметь дело в процессе выполнения лабораторных и практических работ можно условно разделить на точные (погрешность которых равна нулю) и приближенные. К точным числам относятся числовые коэффициенты и показатели степени в формулах (например, коэффициент 3 и показатель степени 2 в формуле S=3 a²); коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения (1м =100 см); числа, заданные определением (log_aa =1) и некоторые другие.

Все результаты измерений и вычислений, округленные значения точных чисел, табличные значения (кроме тех, после которых в скобках указано – точно: например, температура тройной точки воды Т=273,16 К (точно) и др.) являются приближенными числами.

п.2. Значащие цифры.

Значащими цифрами числа являются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа (например, 1,2345 – пять значащих, 1,200 – четыре значащих, 0,012 – две значащих). Только в точных числах представителями неозначенных разрядов являются нули.

Приближенные числа принято представлять в нормальной форме: первую значащую ставят в разряд единиц, остальные – в десятичных разрядах после запятой. Полученное число умножается на множитель вида 10ⁿ (например, 2003=2,00310³; 0,0012=1,210^-3).

п.3. Верные, сомнительные, неверные цифры.

Количество верных цифр в приближенном числе определяется его абсолютной погрешностью. Цифра приближенного числа считается верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины единицы того разряда, в котором стоит соответствующая цифра. Цифра, стоящая за последней верной, называется сомнительной (в некоторых случаях может быть две сомнительных цифры). Все цифры, стоящие после сомнительной, являются неверными. Они не содержат реальной информации и должны отбрасываться. Например, в числе 123,456±0,1 цифры 1, 2, 3 – верные, 4 – сомнительная, 5, 6 – неверные.

В таблицах записывают только верные цифры числа, поэтому абсолютная погрешность не превышает половины последнего разряда, например: если =3,14, то =0,005; если =3,142, то =0,0005.

п.4. Округление.

Для округления числа до n значащих цифр отбрасывают все его цифры, стоящие после n-ного разряда. При этом:

• если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых цифр не изменяется;

• если первая из отбрасываемых цифр 5 или больше, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.

Абсолютная погрешность округленного числа не превышает половины единицы последней сохраненной цифры.

При округлении точных чисел получаются приближенные числа, их погрешность равна ошибке округления.

Абсолютная погрешность опытов определяется не более чем до двух значащих цифр. В учебных лабораториях ее округляют до одной значащей, за исключением чисел, в которых первой цифрой является единица. В этом случае можно оставить две цифры.

1.5. Построение графика.

График – наиболее наглядный метод установления функциональной зависимости между физическими величинами. Помимо этого, на графике становятся очевидными ошибки измерений, особенно промахи (поэтому целесообразно строить график сразу после проведения измерений).

Для правильного построения графика нужно соблюдать некоторые правила:

1. график строят на бумаге с миллиметровой сеткой;

2. значения функции откладывают по оси ординат, значения аргумента – по оси абсцисс;

3. на осях приводится только тот интервал, в котором проводились измерения;

4. масштаб осей выбирается независимо друг от друга и определяется абсолютными погрешностями откладываемых по осям величин;

5. на осях нужно указывать обозначение и единицы измерения физической величины;

6. точки наносят на график остро заточенным карандашом и обводят кружком. Кривую проводят между точками, плавно, желательно, чтобы по обе стороны от кривой располагалось равное количество точек. Если точка ложится на кривую, то внутри кружка линию не проводят;

7. график обязательно подписывают. В подписи должно быть отражено основное содержание графика.