10 Теорія ймовірностей та математична статистика
10.1 Теоретичні питання
10.1.1. Простір елементарних подій. Випадкові події і операції над ними. Алгебра подій.
10.1.2. Аксіоми теорії ймовірностей. Властивості ймовірності (ймовірність протилежної події, ймовірність суми двох подій, монотонність ймовірності, неперервність ймовірності).
10.1.3. Класичне та геометричне означення ймовірностей (перевірка виконання аксіом ймовірності).
10.1.4. Умовна ймовірність. Незалежність подій. Ймовірність добутку подій.
10.1.5. Формули повної ймовірності та Байєса.
10.1.6. Схема Бернуллі (означення, ймовірність певної кількості успіхів, найбільш ймовірна кількість успіхів).
10.1.6. Наближені формули Пуассона та Муавра-Лапласа (інтегральна та локальна) в схемі Бернуллі.
10.1.7. Випадкова величина (неперервна та дискретна; функція розподілу, щільність розподілу, розподіл (ймовірностей) та їх властивості).
10.1.8. Математичне сподівання випадкової величини (означення і властивості).
10.1.9. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини (означення і властивості).
10.1.10. Біноміальний розподіл та розподіл Пуассона (означення та числові характеристики).
10.1.11. Нормальний розподіл (означення, числові характеристики та ймовірність попадання в інтервал).
10.1.12. Випадковий вектор (двовимірний) (означення, функція розподілу, щільність розподілу, розподіл (ймовірностей), розподіл елементів (маргінальні розподіли).
10.1.13. Числові характеристики випадкового вектора (математичне сподівання, коваріаційна (дисперсійно-коваріаційна) матриця). Коефіцієнт кореляції та його властивості.
10.1.14. Функції від випадкових величин (означення, розподіл функції від випадкової величини). Моделювання розподілів.
10.1.15. Закони великих чисел (звичайний та підсилений, їх наслідки для схеми Бернуллі).
10.1.16. Центральна гранична теорема.
10.1.17. Точкові оцінки параметрів розподілу (означення та властивості). Точкові оцінки математичного сподівання та дисперсії.
10.1.18. Інтервальні оцінки параметрів розподілу (означення, надійність та точність оцінки). Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу.
10.1.19. Перевірка статистичних гіпотез (основна та альтернативні гіпотези, помилки та їх ймовірності, критерій, критична область та критичне значення).
10.1.20. Параметричні гіпотези та їх перевірка (критерії перевірки у випадку одно - та двосторонньої альтернативи, критерії побудовані на надійних інтервалах).
10.1.21. Критерій Пірсона (
)
(перевірка гіпотез про розподіл та про
незалежність).
10.1.22. Лінійна регресія (означення, точкові оцінки параметрів). Значимість та ефективність парної лінійної регресії (означення та методи перевірки).
10.2 Тестові теоретичні завдання
10.2.1. Простір елементарних подій складається з випадкових подій:
а) які є незалежними; б) які є несумісними;
в) які не розкладаються на простіші;
д) інша відповідь.
10.2.2. Сумою двох випадкових подій є подія, яка полягає в тому, що:
а) відбулися обидві події;
б) відбулася тільки одна з двох подій;
в) відбулася хоча б одна з двох подій;
г) не відбулася одна з подій; д) інша відповідь.
10.2.3. Добутком двох випадкових подій є подія, яка полягає в тому, що:
а) відбулися обидві події;
б) відбулася тільки одна з двох подій;
в) відбулася хоча б одна з двох подій;
г) не відбулася одна з подій; д) інша відповідь.
10.2.4. Протилежною до суми двох подій є подія, яка полягає в тому, що:
а) не відбулася хоча б одна із подій;
б) не відбулися обидві події;
г) відбулася хоча б одна із подій; д) інша відповідь.
10.2.5. Протилежною до добутку двох подій є подія, яка полягає в тому, що:
а) відбулася хоча б одна із подій;
в) одна подія відбулася, а інша ні;
г) не відбулася хоча б одна із подій; д) інша відповідь.
10.2.6. Нехай
- довільні події,
- простір всіх елементарних подій,
- неможлива подія. Вкажіть, які із
співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а) 1, 2, 3 і 5; б) 1, 2 і 5; в) 2, 3 і 4;
г) 1 і 5; д) інша відповідь.
10.2.7. Нехай - довільні події, - простір всіх елементарних подій, - неможлива подія. Вкажіть, які із співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а) 1, 2 і 5; б) 2 і 4; в) 2 і 3;
г) 2, 3, 4 і 5; д) інша відповідь.
10.2.8. Нехай - довільні події, - простір всіх елементарних подій, - неможлива подія. Вкажіть, які із співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а) 2, 3, 4 і 5; б) всі; в) 1, 3 і 5;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
10.2.9. Нехай - довільні події, - простір всіх елементарних подій, - неможлива подія. Вкажіть, які із співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а)1, 2, 3 і 4; б) 3, 4 і 5; в) 1 і 2;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.10. Нехай - довільні події, - простір всіх елементарних подій, - неможлива подія. Вкажіть, які із співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а) 3, 4 і 5; б) 2, 3 і 4; в) 1, 2 , 3 і 4;
г) 3 і 5; д) інша відповідь.
10.2.11. Нехай - довільні події, - простір всіх елементарних подій, - неможлива подія. Вкажіть, які із співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а) 1, 3, 4 і 5; б) 2 і 3; в) 3 і 5;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.12. Нехай - довільні події, - простір всіх елементарних подій, - неможлива подія. Вкажіть, які із співвідношень правильні:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
а) 1, 2, 3 і 4; б) 1, 3 і 4; в) 2, 3 і 5;
г) 1, 2 і 5; д) інша відповідь.
10.2.13. Нехай
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулися події
і
, але не відбулася подія
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
10.2.14. Нехай - довільні події. Вкажіть формулу, яка відповідає події: відбулася подія , а події та не відбулися.
а)
;
б)
;
г)
;
д) інша відповідь.
10.2.15. Нехай - довільні події. Вкажіть формулу, яка відповідає події: відбулася тільки одна із цих подій.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
10.2.16. Нехай - довільні події. Вкажіть формулу, яка відповідає події: відбулися рівно дві з цих подій.
а)
;
б)
;
в)
;
г) ; д) інша відповідь.
10.2.17. Нехай - довільні події. Вкажіть формулу, яка відповідає події: відбулися всі три з цих подій.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
10.2.18. Нехай - довільні події. Вкажіть формулу, яка відповідає події: не відбулася жодна з цих подій.
а)
;
б)
;
в)
;
г) ; д) інша відповідь.
10.2.19. Нехай - довільні події. Вкажіть формулу, яка відповідає події: відбулася принаймні одна з цих подій.
а)
;
б)
;
в)
;
г) ; д) інша відповідь.
10.2.20. Ймовірність суми двох подій і обчислюється за формулою:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) інша відповідь.
10.2.21. Ймовірність добутку несумісних подій дорівнює:
а) добутку ймовірностей цих подій;
б) сумі ймовірностей цих подій;
в) нулю; г) одиниці; д) інша відповідь.
10.2.22. Ймовірність добутку незалежних подій дорівнює:
а) відношенню ймовірностей цих подій;
б) сумі ймовірностей цих подій;
в) нулю; г) одиниці; д) інша відповідь.
10.2.23. Протилежна подія має ймовірність, що в сумі з ймовірністю даної події дорівнює:
а) 2; б) 1.5; в) 1; г) 0.5; д) інша відповідь.
10.2.24. Ймовірність події , що сприяє події є:
а) меншою за ймовірність ;