Задание №1

№ группы	Группы работников по размеру заработной платы, тыс. руб.	Число работников, чел.	Среднее значение интервала	Накопленные частоты
	До 5	5	2,5	5
	5-7	16	6	21
	7-9	33	8	54
	9-11	20	10	74
	11-13	91	12	165
	13-15	8	14	173
	15-17	8	16	181
	св. 17	9	18	190
Итого		190

Проведена 10% случайная бесповторная выборка работников предприятий по размеру их заработной платы, тыс. руб.:

Вычислите:

1. Среднюю заработную плату работников, попавших в выборку. Какую среднюю применили? Почему?

Применяем взвешенную среднюю арифметическую, т.к. варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз

≈10,9

где х_i – среднее значение на i-том интервале

f_i – частота i-того интервала

2. Моду и медиану (методом интерполяции и графически);

Мода — значение признака, которое встречается наиболее часто. Обозначается

где - начальное значение модального интервала

- частота модального интервала

- частота интервала идущего перед модальным

- частота интервала следующего за модальным

В нашем случае модальным является интервал №5.

≈11,92

Графически моду находят по гистограмме распределения. На самом высоком прямоугольнике из правой верхней вершины проводят линию к правой верхней вершине предыдущего прямоугольника, из левой верхней вершины – в левую верхнюю вершину следующего прямоугольника. Из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Полученное значение и будет являться модой распределения.

М_о

Медиана — возможное значение признака, которое делит вариационный ряд выборки на две равные части.

При вычислении медианы сначала находят медианный интервал, (т. е. содержащий медиану), для чего используют накопленные частоты. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину всего объема совокупности.

В нашем случае медианным является интервал №5 (половина всего объема совокупности равна 95, накопленная частота интервала равна 165)

М_е =

где - начальное значение медианного интервала

- частота медианного интервала

- частота интервала идущего перед медианным

М_е = ≈ 11,55

Графически медиана вычисляется по кумуляте распределения. Из точки на шкале ординат, которой соответствуют накопленные частоты, со значением равным половине всего объема совокупности проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Полученное значение и будет являться медианой распределения.

М_е

3. Коэффициент вариации заработной платы;

Для нахождения коэффициента корреляции нам потребуется дисперсия.

= ≈ 9,9

отсюда среднее квадратичное отклонение равно

σ = = 3,15

коэффициент вариации равен

%= *100% ≈ 28,9 %

4. Пределы, в которых будет находиться средняя заработная плата в целом по предприятию:

   1. с вероятностью 0,95;

Сначала определим среднюю ошибку выборки:

= = ≈ 0,22

Теперь найдем предельную ошибку выборки

∆х = t ∙

где t – коэффициент доверия, зависящий от уровня вероятности.(из таблицы значений интеграла Лапласа )

t = 1,96 при Р = 0,95

∆х = 0,22 * 1,96 = 0,4312

- ∆х ≤ ≤ + ∆х

10,9 - 0,4312 ≤ ≤ 10,9 + 0,4312

10,4688 ≤ ≤ 11,3312

Т.о. При средней заработной плате в выборке = 10,9 значение средней заработной плате в генеральной совокупности будет находится в пределах от 10,4688 до 11,3312 тыс. руб. с вероятностью 95%.

2. с вероятностью 0,997;

t = 3 при Р = 0,997

∆х = 0,22 * 3 = 0,66

10,9 - 0,66 ≤ ≤ 10,9 + 0,66

10,24 ≤ ≤ 11,56

Т.о. При средней заработной плате в выборке = 10,9 значение средней заработной плате в генеральной совокупности будет находится в пределах от 10,24 до 11,56 тыс. руб. с вероятностью 99,7%.

5. Пределы, в которых будет находиться доля работников, получающая заработную плату свыше 15 тыс. руб. в целом по предприятию, с вероятностью 0,997;

Исходя из условия в выборке таких 17 человек. Их доля составляет

w = = ≈ 0,09

Средняя ошибка доли составляет

= = ≈ 0,02

∆х = t ∙ = 3 *0,02= 0,06

0,09 - 0,06 ≤ w ≤ 0,09 + 0,06

0,03 ≤ w ≤ 0,15 или 3% ≤ w ≤ 15%

Доля работников, получающая заработную плату свыше 15 тыс. руб. в целом по предприятию будет находиться в пределах от 3% до 15% с вероятностью 99,7%.

6. Какой должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборочной средней не превышала:

   1. 100 руб.

Для случайной бесповторной выборки искомая численность вычисляется по следующей формуле

n = = ≈1288

2. 1000 руб.

n = = ≈38