Тема 5. Элементы теории корреляции

5.1. Виды зависимостей между случайными величинами х и у

Х, У – количественные признаки, связанные между собой, x_i, y_i – их возможные значения.

Функциональная зависимость – каждому значению Х соответствует единственное значение признака У.

Статистическая зависимость – каждому значению признака Х со­ответствует распределение признака У.

yi	y1 y2 … yk
ni	n1 n2 … nk

Х 

Корреляционная зависимость - каждому значению признака Х ставится в соответствие среднее значение признака У (условная средняя ):

. Аналогично,

– уравнение регрессии У на Х.

уравнение регрессии Х на У.

Пример 1. Площадь квадрата У есть функция от длины стороны квадрата X: У = Х². Зависимость функциональная. Товарооборот магазина У зависит от числа торговых работников Х. Эта зависимость корреляционная.

Две основные задачи теории корреляции:

1. Определить форму корреляционной связи, т.е. определить вид уравнения регрессии.

2. Оценить тесноту корреляционной связи.

5.2. Корреляционная таблица

Все наблюдаемые значения числовых признаков X и У с соответствующими частотами записываются в так называемую корреляционную таблицу.

Пример:

Х У	1 3 5	ny
2 4 6	2 – 3 – 5 9 4 6 3	5 14 13
nx	6 11 15	n=32

Числа 1, 3, 5 (вверху таблицы) показывают наблюдаемые значения признака Х. Числа 2, 4, 6 (левый столбец) показывают наблюдаемые значения признака У.

Числа внутри таблицы показывают частоту появления соответству­ющей пары значений (Х, У). Например, пара (1; 2) наблюдалась 2 ра­за, пара (3; 4) – 5 раз, пара (1; 4) не наблюдалась ни разу (соот­ветствующие им частоты равны 0).

По данным наблюдений вычислены частоты n_x, n_y, n.

n_x – частота появления данного значения X,

n_y – частота появления данного значения У,

n – объем выборки (количество всех наблюдаемых пар (Х, У)). Так, значение Х=1 наблюдалось 2+4=6 раз, значение Х=5 наблюдалось 3+9+3=15 раз, значение y = 6 наблюдалось 4+6+3=13 раз, и т.п. Объем выборки n=6+11+15 или n=5+14+13=32. В общем виде корреляционная таблица выглядит так:

У Х	x1 x2 … xk	ny
y1 y2 … ym	n11 n12 … n1k n21 n22 … n2k ………………. nm1 nm2 … nmk	ny1 ny2 … nym
nx	nx1 nx2 … nxk	n

n_xj = n_1j + n_1j + … + n_mj = ;

n_yj = n_i1 + n_i2 + … + n_jk = ;

n = n_x1 + n_x2 + … + n_xk = ;

n = n_y1 + n_y2 + … + n_ym = ;

Условные средние по Х:

Условные средние по У:

5.3. Виды уравнений регрессии

Вид регрессии	Уравнение регрессии	Сведение к линейному виду
1. Линейная
2. Гиперболическая
3. Показательная
4. Степенная
5. Параболическая
6. Параболическая		К линейному не сводится

В случаях 1-5 параметры линейной зависимости находятся по формулам

1-3 следующего пункта 5.4. Для случая 6 применяется непос­редственно метод наименьших квадратов.