4.6. Доверительный интервал. Примеры

Пример1. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака, если известны:  = 2; = 5,4; n = 10; g = 0,95.

Решение: 2Ф(t) = 0,95, Ф(t) = 0,5*0,95=0,475. Из таблицы (Приложение 2) t = 1,96 _.

Доверительный интервал ( – d; + d) = (5,4-1,14; 5,4+1,14)=(4,16; 6,6).

Пример 2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно 2.

Решение: Дано: g = 0,95;  = 0,2;  = 2. Найти n.

Из формулы находим . Из условия 2Ф(t) = 0,95 находим

t = 1,96. Тогда

Пример3. По заданным значениям характеристик нормально распределенного признака найти доверительный интервал для оценки неиз­вестного математического ожидания:

g = 0,95, n =12, S = 1,5. = 16,8.

Решение. Из таблицы (Приложение 4) по данным g и n находим t = 2,20,

тогда

Доверительный интервал: (16,8 – 0,95; 16,8 + 0,95) = (15,85; 17,75).

4.7. Понятие о критериях согласия

Статистической называется гипотеза о неизвестном законе рас­пределения случайной величины или о параметрах закона распределе­ния, вид которого известен.

Пусть имеется статистическое распределение выборки для случайной величины X:

xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

По виду полигона пли гистограммы, сравнивая их с графиками дифференциальных функции распределения, делаем предположение о виде закона распределения случайной величины.

Сделанное предположение (гипотеза) подтверждается расчетами критерия согласия, имеются различные критерии согласия: Хинчина, Колмогорова, Пирсона, например, критерий Пирсона (хи-квадрат)

позволяет сравнивать близость частот n_i­ данного статистическо­го распределения выборки с теоретическими частотами n_i­, най­денными с помощью функции распределения предполагаемого закона:

где f(x) – дифференциальная, F(x) – интегральная функции предпола­гаемого распределения.

Если все вычисленное значение критерия ² - не превосходит некоторого критического значения ²_кр, взятого по таблице (приложение 3), то выдвинутая гипотеза принимается с заданным уровнем надежности (вероятности) =   *А в противном случае гипотеза отвергается.

В Приложении 3:

 – уровень значимости, это вероятность отвергнуть правильную гипотезу;

S – число степеней свободы, S = k – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения; r = 2 для нормального распределения (а и ), г = 1 для показательного распределения ().

4.8. Критерий согласия Пирсона. Пример

Задача. В результате выборочного обследования торговых предприятий получены следующие значения их дневного товарооборота (млн. руб.) на интервале [0,5; 10,5]:

3,24 3,00 3,25 8,35 5,92 5,98 3,41 4,44 3,87 9,46

9,30 7,66 6,21 7,98 8,26 6,13 8,27 4,97 4,39 5,09

2,28 6,53 8,66 5,72 4,99 4,26 2,13 5,25 3,56 6,04

5,95 2,91 6,46 5,31 4,01 5,86 6,83 3,99 7,45 6,78

2,92 2,96 5,07 2,87 3,97 5,43 6,85 7,33 8,74.

Пользуясь критерием Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении дневного товарооборота в генеральной совокупности данных, взяв уровень значимости  = 0,05. Построить полигон и гистограмму выборочного распределения.

План решения

1. Провести интервальную обработку статистических данных, разбив заданный интервал на 10 равных частей и выбрав в качестве значений вариант середины частичных интервалов.

2. Построить полигон и гистограмму полученного статистического распределения выборки.

3. Найти основные характеристики распределения выборочные данных:

среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонений.

4. Принять гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности признака и записать функцию плотности распределения вероятности с учетом найденных параметров.

5. Вычислить теоретические частоты нормального распределения, ре­зультаты вычислении оформить таблицей.

6. Вычислить эмпирическое (наблюдаемое) значение ² и составить расчетную таблицу.

7. Найти критическое значение ²_кр в таблице по данным: К – число степеней свободы и  – уровень значимости.

8. Сделать вывод о приемлемости выбранной гипотезы.

9. Найти доверительный интервал для неизвестной генеральной сред­ней с надежностью  = 0,95 (в случае, если гипотеза о нормальном распределении подтверждается).

Решение

1. Разобьем интервал [0,5; 10,5] на 10 равных частей, тогда шаг разбиения В качестве значения приз­нака берем середины полученных частичных интервалов x_i: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Подсчитываем, сколько значений признака по­падает в каждый интервал, это и есть соответствующие частоты n_i.

В результате получим статистическое распределение дневного товарооборота по торговым предприятиям.

Товарооборот (млн. руб.) xi	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество предприятий ni	0 2 8 8 7 9 6 5 4 0

Контроль: сумма всех частот должна быть равна объему выборки .

Полигон и гистограмма являются графическим изображением полученного статистического распределения выборки и строятся для наглядного уяснения основных черт этого распределения. Масштабы по осям ОХ и ОУ выбираются независимо друг от друга, исходя из удобств построения.

2. Полигон и гистограмма дают возможность сделать предположение о виде закона распределения изучаемого фактора.

По внешнему виду построенного графика можно предположить, что закон распределения дневного товарооборота по предприятиям являет­ся нормальным.

3. Определим основные характеристики статистического распределения выборки по формулам: – объем выборки;

– выборочное среднее значение;

– выборочная дисперсия;

– выборочное среднее квадратическое отклонение.

Вычисления по этим формулам удобно вести в таблице 1.

Таблица1.

№	хi	ni	хi ni	хi -	(хi- )2	(хi- )2ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 2 8 8 7 9 6 5 4 0	0 4 24 32 35 54 42 40 36 0	-4,45 -3,45 -2,45 -1,45 -0,45 0,55 1,55 2,55 3,55 4,55	19,8 11,9 6 2,1 0,2 0,3 2,4 6,5 12,6 20,7	0 23,8 48 16,8 1,4 2,7 14,4 32,5 50,4 0
	–	49	267	–	–	190

n =49;

4. Согласно предположению о нормальном законе распределения дневно­го товарооборота X в генеральной совокупности, функция распределения плотности вероятности имеет вид:

или для нашего статистического распределения.

5. Используя данную функцию, вычислим теоретические частоты рас­пределения по формуле , где р_i – вероятность попадания нормально распределенной случайной величины по найденным параметрам и  в частичный интервал [_i; _i]: – вспомогательный промежуточный параметр, – табулированная функция, значения которой берутся по таблице (Приложение 1). В силу четности, (– u) = (u). Так как h = 1, вычислим значение вспомогательной величины Найденные значения теоретических частот округляем до целых чисел. Все вычисления поместим в таблице 2.

6. Вычисляем наблюдаемое значение критерия . Предварительно рекомендуется объединить между собой соседние ма­лочисленные интервалы, суммируя их частоты, в итоге каждый интервал должен содержать не менее пяти вариантов. В рассматриваемом примере объединяем три первых и три последних интервала. Число ин­тервалов m после укрупнения равно шести, результаты вычислений поместим в таблице 3.

Таблица 2

№ / №	α I; βi	xi	ni	xi –	ui	Y(ui)	ni/
1	0,5-1,5	1	0	-4,45	-2,26	0,0310	0,77 1
2	1,5-2,5	2	2	-3,45	-1,75	0,0863	2,15 2
3	2,5-3,5	3	8	-2,45	-1,24	0,1849	4,6 5
4	3,5-4,5	4	8	-1,45	-0,74	0,3034	7,55 8
5	4,5-5,5	5	7	-0,45	0,23	0,3885	9,66 10
6	5,5-6,5	6	9	0,55	0,28	0,3836	9,54 10
7	6,5-7,5	7	6	1,55	0,79	0,2920	7,26 7
8	7,5-8,5	8	5	2,55	1,29	0,1736	4,32 4
9	8,5-9,5	9	4	3,55	1,80	0,0790	1,96 2
10	9,5-10,5	10	0	4,55	2,31	0,0277	0,69 1
			49				50

Таблица 3

№ / №	ni	ni/	ni - ni/	(ni - ni/)2	(ni - ni/)2
1	10	8	2	4	0,50
2	8	8	0	0	0
3	7	10	-3	9	0,90
4	9	10	-1	1	0,1
5	6	7	-1	1	0,14
6	9	7	2	4	0,54
	49	50			2,21

7. Найдем в таблице (Приложение 3) критическое значение ²_кр по заданным значениям:  – уровень значимости (вероятность отверг­нуть правильную гипотезу); k – число степеней свободы, у нас K = 6 – 2 – 1 = 3,  =0,05; ²_кр = 7,8.

8. Вывод: так как ²_набл < ²_кр (2,21< 7,8), то нет основа­ний отвергнуть гипотезу о нормальном распределении, то есть рас­хождение эмпирических n_i и теоретических n_i частот незначитель­ное. Данные выборочных наблюдения согласуются с гипотезой о нор­мальном распределении дневного товарооборота среди торговых пред­приятий.

9. Считая, что распределение дневного товарооборота подчинено нормальному закону, оценим неизвестное генеральное среднее значе­ние товарооборота: . По известной выборочной средней ;

, здесь  – заданная надежность оценки,  – характеризует точность оценки, , где t определяется из 2Ф(t) = . С помощью таблиц (Приложение 2) находим t: .

Вычисляем Находим доверительный интервал для генеральной средней: |a – 5,45| < 0,55; – 0,55 < а – 5,45 < 0,55;

4,9 < a < 6.

Таким образом, истинное среднее значение товарооборота содер­жится в интервале от 4,9 до 6 млн. руб. с надежностью  = 95%.