2. Процесс ортогонализации

Теорема 2. Пусть V - конечномерное векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Ортогональную систему ненулевых векторов, не являющуюся базисом этого пространства, можно дополнить до ортогонального базиса пространства V.

Следствие. Любое конечномерное векторное пространство V с невырожденным скалярным умножением обладает ортогональным базисом.

Определение. Пусть в конечномерном векторном пространстве V с невырожденным скалярным умножением дан ортогональный базис , т.е , то этот ортогональный базис называется ортонормированным.

Пример 1. Исследовать на ортогональность векторы (2, 1, - 4, 2) и (4, 8, 2, - 4) из R⁴, а затем пронормировать их.

Решение. Если нам дано V_n с невырожденным скалярным умножением, то под нормой вектора мы будем понимать . Проверим на ортогональность: => .

Найдем орты: = , .

Пример 2. Методом ортогонализации построить ортонормированный базис подпр-ва L, натянутого на след. с-му векторов пр-ва , , ,

Решение. Найдем базис

~ ~

-лнз.

ортонормированный базис подпр-ва

3. Ортогональное дополнение к подпространству

Рассмотрим конечномерное векторное пространство V над полем F и в нем определено скалярное умножение.

Возьмем некоторое множество М V. Пусть некоторый вектор V ортогонален к каждому вектору из множества М, т.е.: . Через обозначим множество всех элементов пространства V, удовлетворяющих следующему условию:

Можно проверить, что множество не пусто и замкнуто в множестве V относительно сложения и умножения вектора на скаляр, т.е. является подпространством векторного пространства V. Это подпространство называется ортогональным дополнением к множеству М в пространстве V.

Если Z является подпространством пространства V, то через обозначают его ортогональное дополнение в пространстве V.

4. Евклидовы пространства

Пусть дано векторное пространство V над полем R.

Определение, Векторное пространство V над полем R с положительно определенным скалярным умноэ/сением, заданным в нем, называется евклидовым векторным пространством.

Под положительно определенным скалярным умножением будем понимать такое скалярное умножение, для которого

Теорема 1. Арифметическое пространство R" над полем R со стандартным скалярным умножением является евклидовым.

Определение. n- мерное арифметическое векторное пространство со скалярным умножением является евклидовым пространством размерности п и обозначается через

Теорема 2. Если есть векторы евклидового пространства и - некоторый скаляр из R, то выполняются следующие условия:

1)

2)

3) - неравенство Коти — Буняковского; 4) - неравенство треугольника.