32

Введение

С появлением оптических квантовых приборов – лазеров в начале 60–х годов прошлого века началась новая эра высоких технологий. В первые годы после создания эффекта оптической обратной связи усилия разработчиков лазеров были направлены на разработку надежных лазеров с заданными свойствами оптического излучения, которые определялись применением лазеров.

На современном этапе, когда сфера применения лазеров, в том числе технологических растет, пользователи лазеров должны стать активными участниками их проектирования. Кроме того, к настоящему времени, хотя процесс конструирования самих лазеров продолжается, все большее внимание уделяется лазерным системам, применяемым в конкретной области техники, что обусловливает проектирование свойств лазерного пучка для конкретной лазерной системы.

Теоретическая часть

Свойства активной среды, взаимодействие

излучения с веществом

Принцип работы оптического квантового генератора (лазера) связан с оптическими свойствами вещества, которое называют активной средой. Как известно, частицы любой среды могут находиться в различных состояниях, отличающихся струк­турой электронного облака (электронные состояния) или характером относительного движения ионов в молекуле (колебательные и вращательные состояния). Возможные стационарные состояния образуют дискретную последовательность, которая определяет оптические свойства среды.

Из всех характеристик состояния нас будет интересовать, прежде всего, внутренняя энергия частицы. Эта энергия складывается главным образом из кинетической и потенциальной энергии электронов в электронном облаке атома или иона. В молекуле к этому добавляется кинетическая и потен­циальная энергия относительного движения и расположения ионов, составляющих молекулу.

Стационарным состояниям соответствует дискретный ряд значений энергии. Состояние с наименьшей энергией является наиболее устойчивым и распространенным состоя­нием частицы, оно называется основным или нормальным. Большая внутренняя энергия частицы соответствует воз­бужденным состояниям. Обычно указывают не абсолютную величину внутренней энергии, а ее избыток над энергией основного состояния — так называемый энергетический уровень данного состояния.

Когда рассматривают среду—совокупность частиц, то следует иметь в виду, что в данном возбужденном или нормальном состоянии одновременно пребывают не одна, а це­лый ряд частиц. Число частиц, одновременно находящихся в каком–либо состоянии в единице объема среды,— очень важная характеристика данного состояния. Эта характеристика называется населенностью N рассматриваемого состоя­ния. Каждому состоянию соответствует определенная насе­ленность. Совокупность населенностей различных воз­можных состояний представляет собой распределение населенностей по состояниям.

Распределение населенностей по состояниям частиц характеризует уже состояние среды в целом. В нормальных условиях почти все частицы среды находятся в основном состоянии. Повышение населенности возбужденных состоя­ний связано с воздействием на среду каких–либо внешних факторов (облучение, электрический ток и т. д.). Среда с повышенным содержанием возбужденных частиц называется возбужденной средой.

В общем случае можно представить, что ряд различных возбужденных состояний характеризуется одним значением внутренней энергии. Тогда данный энергетический уровень соответствует нескольким состояниям частицы. Такое поло­жение называется вырождением возбужденных уровней; число различных состояний, соответствующих данному энергетическому уровню, называется степенью вырождения или статистическим весом уровня.

Число частиц в единице объема среды, одновременно имеющих одну и ту же внутреннюю энергию, т. е. пребывающих в одном из состояний, соответствующих данному энергетическому уровню, называется населенностью энергетического уровня N_e.

Частицы среды не пребывают в каком–либо возбужденном состоянии бесконечно долго. Обычно в среде имеют место физические процессы, связанные с переходом частиц из одно­го состояния в другое. При каждом переходе из одного состояния в другое выделяется или поглощается порция, квант энергии в соответствии с законом сохранения энергии. Выделяемая или поглощаемая при переходе энергия может иметь разные формы. Например, переход атома из состояния с меньшей энергией в состояние с большей энергией (переход вверх) может произойти при соударении атома с электроном в газообразной среде. В этом случае пополне­ние внутренней энергии атома происходит за счет уменьше­ния кинетической энергии электрона. Другим примером может быть переход частицы из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией (переход вниз), когда избыток внутренней энергии частицы переходит в тепловую энергию частицы, т. е. в кинетическую энергию хаотического движения частиц.

Переходы вниз или вверх могут происходить также с выделением или поглощением квантов электромагнитного излучения. В этом случае частота излученного или погло­щенного кванта излучения определяется разностью энергий начального и конечного состояния

, (1)

где h— константа (постоянная Планка), равная 1,05 х 10³⁴ дж/с.

Можно указать много различных физических процессов, связанных с переходами частиц из одного возбужденного состояния в другое. Принято делить всю совокупность переходов на две группы, в зависимости от того, с какой формой внешней энергии связана трансформация внутренней энергии частицы. Переходы, в результате которых излучается или поглощается электромагнитная энергия, выделяются из всех возможных переходов названием «оптические переходы».

Обычно свет, проходящий через вещество, поглощается (по закону Бугера), но в активной среде создаются условия отрицательного поглощения, т.е. свет, проходящий через вещество, усиливается. Это происходит при превышении населенности числа частиц, находящихся в каком–либо энергетическом состоянии на одном энергетическом уровне, над числом частиц, находящихся на более низком энергетическом уровне. Переходы вниз, как уже указывалось, происходят с выделением света. Приращение интенсивности света при распространении в среде на расстояние dz пропорционально интенсивности падающего на среду излучения:

dI = G I dz. (2)

Коэффициент пропорциональности G называется коэффициентом усиления. Он связан с разностью заселенностей рабочих уровней N_m – N_n соотношением

G = c (N_m – N_n ), (3)

с –сечение индуцированного излучения. Интегрируя (2) с учетом (3), получаем интенсивность лазерного излучения при прохождении сквозь активную среду.

I = I₀ exp [c (N_m – N_n ). (4)

Неравенство N_m > N_n является условием самовозбуждения при отсутствии потерь.

Это является одним из условий создания лазерного эффекта.

Вторым условием является создание эффекта обратной связи. Оптический резонатор как раз и является устройством, усиливающим лазерное излучение. Кроме того, задачей резонатора является формирование геометрических параметров пучка (диаметр, расходимость, кривизна волнового фронта и т. д.)

Элементы теории оптических резонаторов

Оптическим резонатором лазера (открытый резонатор) называют систему из двух обращенных друг к другу оптических поверхностей зеркал, между которыми располагается активное вещество. Основным назначением резонатора является создание условий, при которых возникающее внутри него излучение многократно проходит активную среду. Если излучение пройдет среду один раз, то интенсивность (мощность) излучения на выходе мала. Мощность излучения будет нарастать, пока населенности верхнего и нижнего уровня, участвующие в генерации лазерного излучения, не выровняются, и когда в резонаторе сформируются стоячие волны. Число полуволн оптического излучения, уложенных на длине резонатора, будет равно   2 [2]:

qL . (5)

Ось распространяющегося в резонаторе пучка может составлять угол  с оптической осью резонатора. В этом случае условие резонанса запишется как

, (6)

где q=1,2,3,…,  – фазовый сдвиг, соответствующий определенному типу колебаний.

Т аким образом, оптический резонатор – колебательная система, предназначенная для усиления излучения на резонансной частоте перехода и формирования модовой и пространственной структуры этого излучения (общий вид оптического резонатора приведен на рис.1).

Рис. 1. Общий вид резонатора

На рис. 1 приведены следующие обозначения: L – длина резонатора на оптической оси; R₁; R₂– радиусы кривизны зеркал (для вогнутого зеркала R>0, а для выпуклого – R<0).

– коэффициент отражения зеркал R₁ (для правого зеркала l), такое зеркало называется «глухое» или заднее зеркало резонатора, а для левого 0.5, такое зеркало называется «полупрозрачное» или выходное зеркало резонатора.

На рис.2 приведены схемы для определения знака радиусов кривизны зеркал [4].

Рис.2. Определение знака радиусов кривизны зеркал резонатора

Для качественной оценки резонаторов с точки зрения вносимых им потерь удобно воспользоваться обобщенными параметрами:

, (7)

где L – длина оптического резонатора,

r2, r1 – радиусы кривизны зеркал резонатора.

На рис.3 приведена G-диаграмма оптических резонаторов. Каждой точке диаграммы соответствует резонатор определенной конструкции.

Рис.3. G-диаграмма (заштрихованные области соответствуют большим дифракционным потерям) [2]

С точки зрения потерь в резонаторе на G-диаграмме выделяют две области:

область устойчивых резонаторов, для которых выполняется условие

; (8)

малые потери в резонаторе достигаются за счет того, что излучение, последовательно отражаясь от зеркал, остается все время в пределах ограниченной области внутри резонатора вблизи его оси;

область неустойчивых резонаторов, для которых выполняется условие

; (9)

в таких резонаторах излучение после отражения от зеркал удаляется от его оси на неограниченное расстояние, что и приводит к большим потерям.

Таким образом, резонатор выполняет в лазере следующие функции:

-создает положительную обратную связь, т.е. условия для многократного прохождения активной среды,

-формирует геометрию лазерного пучка в пространстве и внутри резонатора (диаметр, расходимость и др.),

-задает частотные свойства лазерного излучения.

Матричный метод оценки параметров лазерного излучения

Методы матричной оптики и элементы теории оптических резонаторов позволяют определить параметры лазерного излучения – геометрию пучка для данного резонатора. Каждый луч, попадающий на зеркало, отражается и вновь попадает в резонаторную полость. Последовательно отражаясь, исходный луч многократно пересекает пространство между зеркалами. Параметры пучка при расчете их матричным методом выражаются через элементы матрицы, которая является аналогом резонатора. Для составления матрицы резонатора рассматривают ход луча в нем через простейшие оптические элементы. Матрица резонатора равна произведению матриц элементов еe составляющих.

Можно представить некую бесконечно периодическую последовательность линз, ход лучей в которой соответствует ходу лучей в резонаторе. Такая последовательность состоит из чередующихся тонких линз, каждая из которых имеет оптическую силу одного из зеркал резонатора, при этом расстояние между соседними линзами равно длине резонатора. На рис.4 показана последовательность линз, которая представляет собой аналог двухзеркального резонатора.

Оптическая сила зеркала Р определяется выражением, связанным с f- фокусом зеркала, которое представляем как линзу, причем R – радиус кривизны зеркал:

. (10)

Y

Рис.4. Двухзеркальный резонатор и соответствующая ему бесконечная последовательность линз с фокусными расстояниями f₁ = R₁ /2 и f₂ = R₂/2

На рис.5 показан резонатор с активной средой. Используя формулу (11), рассчитаем приведенную длину резонатора:

. (11)

Рис.5. Резонатор с активной средой

Матричный метод оценки параметров луча заключается в том, чтобы моделировать прохождение луча в резонаторе. Траектория луча, проходящего через последовательность преломляющих поверхностей – зеркал, будет состоять из последовательности прямых линий. Каждая из этих прямых определяется координатами одной принадлежащей ей точки и углом, который составляет данная линия с осью OZ. Для оценки координат и узлов вводится понятие опорной плоскости. Опорная плоскость ОП – произвольная плоскость, перпендикулярная к оси ОZ. Луч по отношению к опорной плоскости можно определить двумя параметрами: высотой Y, на которой этот луч пересекает ОП, и углом V, который он составляет с осью OZ. Угол V измеряется в радианах и считается положительным, если он соответствует вращению против часовой стрелки от положительного направления оси Z к направлению, в котором свет распространяется вдоль луча (рис. 6.).

Рис.6. Иллюстрация к понятию опорная плоскость

На каждом этапе расчетов выбирается новая опорная плоскость. В этом случае параметры луча непрерывно переносятся с одной ОП на другую.

Если требуется провести полный расчет системы, то необходимо составить полную матрицу преобразования лучей, которая преобразовала бы все необходимые параметры луча от выбранной нами входной опорной плоскости к выбранной выходной ОП.

Оптические матрицы для простейших оптических элементов представлены в табл.1.

Таблица 1

Оптическая схема	Лучевая матрица
Свободное пространство
Тонкая линза в воздухе

Для того чтобы получить общую матрицу преобразования лучей, описывающую все матрицы элементарных перемещений и преломлений, встречающихся в системе, следует перемножить в правильной последовательности все матрицы элементарных перемещений и преломлений, встречающихся в системе. Если получена матрица системы, то следует проверить, равен ли ее определитель единице, а затем использовать ее в уравнении преобразования луча

. (12)

Таким образом, каждому элементу оптической системы можно поставить в соответствие свою унимодулярную матрицу преобразования лучей. (Если определитель [AD-BC] матрицы размером 2 х 2 равен единице, то такую матрицу называют унимодулярной.)

Составим матрицу преобразования лучей в соответствии с формулами табл.1. Матрицы перемножаются в порядке, обратном ходу луча и определяются постоянные оптических элементов модуля резонатора. Луч распространяется вправо по оси Z. Первая матрица соответствует свободному пространству при обратном ходе луча распространении от ОП₁ (рис.6), следующая матрица соответствует матрице тонкой линзы с учетом знака кривизны зеркала, определяемого по рис.2. Далее матрица свободного пространства, что соответствует прохождению луча от ОП₂ к ОП₁ и далее – матрица тонкой линзы (З₁ – выходное зеркало). Совместим ОП1 и ОП2, что соответствует перемножению оптических матриц.

В общем случае матрица двухзеркального резонатора будет иметь вид

= , (13)

А=1- Р₁Т -2 Р₂Т + Р₁ Р₂ Т²; В = Т(2- Р₁Т); С = - Р₁ - Р₂ + Р₁ Р₂ Т; D = 1- Р₁Т.

Матрицу М, полученную в результате преобразований, следует проверить на равенство определителя единице, т.е. должно выполняться условие

. (14)

Если условие выполняется, то эту матрицу можно привести к диагональному виду, т.е. найти такие числа , при которых выражение (14) обращается в ноль:

, (15)

. (16)

- корни характеристического уравнения унимодулярной матрицы (14):

. (17)

Далее корни характеристического уравнения можно использовать в уравнении преобразования луча (12), так как этот случай относится к распространению света в средах с одинаковым коэффициентом преломления, например в воздухе.

Мы имеем достаточно информации для расчета одного прохода луча через данную систему.

Для того чтобы рассчитать изменение параметров луча вследствие последовательных полных проходов через резонатор, нужно возвести полную матрицу преобразования лучей М в N-ю степень. К квадратным матрицам можно формально применить в программе Маthcad возведение в степень. Для этого N должно быть целым числом:

. (18)

Используя теорему Сильвестра из теории матричного исчисления [1], находятся элементы лучевой матрицы после возведения в степень:

, (19)

где , а = cos . (20)

Выражение (20) позволяет указать условие устойчивости резонатора. Напомним, что устойчивость резонатора соответствует конечному значению координат луча при бесконечном возрастании числа проходов. Поскольку координаты исходного луча конечны, то для формулирования устойчивости следует потребовать ограниченность элементов лучевой матрицы M^N. Это требование выполняется при вещественном угле , изменяющемся от до , а cos изменяется от -1 до 1, т.е. используя уравнение (20), получаем условие устойчивости: .

Для устойчивых резонаторов лучевое семейство имеет вид эллиптической замкнутой траектории в любом поперечном сечении резонатора (рис.7).

Рис.7. След лучевого семейства устойчивого резонатора

Для неустойчивых резонаторов и параметр не может быть вещественным. Положим . Тогда, используя тригонометрические функции комплексного аргумента, получаем

= . (21)

Так как всегда выражается вещественным числом, то может принимать значения , где k = 0,1,2,3,4… и . Ход луча для случая , (22)

показан на рис.8.

Рис.8. След луча неустойчивого резонатора для случая, если

Если и , то , (23)

где k может принимать только нечетные значения. Ход луча для этого случая показан на рис.9.

Рис. 9. След луча неустойчивого резонатора для случая, если .

Видно, что координаты луча меняют знак в каждом последующем проходе. Траектория следа луча имеет две ветви. Однако, как и в случае , луч последовательно удаляется от оси резонатора.

Вычислим радиус фронта волны R_z для любого резонатора. Выразим угловую координату V₁ через линейную Y₁ :

. Тогда уравнение (12) перепишется в виде

, (24)

, (25)

, (26)

, (27)

, (28)

, (29)

, (30)

, (31)

. (32)

При положительном R_z выпуклость волнового фронта обращена в сторону распространения волны. Положение центра собственного пучка задается

, где Z – текущая координата, Z₀ – положение центра кривизны волнового фронта. Такой луч распространяется без изменения, и будет воспроизводиться волновой фронт.

Рассмотрим подкоренное выражение в уравнении (32). Поскольку резонатор устойчив при действительном угле , то

, где cos , . (33)

Тогда , для устойчивого резонатора.

Рассмотрим теперь комплексное отношение компонент собственного вектора для устойчивого резонатора как значение - комплексный параметр кривизны . (34)

Этот параметр определяет геометрию гауссова пучка.

СВОЙСТВА ГАУССОВА ПУЧКА

Для гауссовых пучков характерно быстрое уменьшение амплитуды поля при удалении от оси. Амплитуда поля изменяется в соответствии с функцией Гаусса .

Рис.10. Распределение интенсивности по сечению пучка лазерного излучения для одномодового режима генерации

На рис.11 показано распространение гауссова пучка в пространстве вдоль оси Z.

Рис.11. Распространение гауссова пучка вдоль оси Z

В точке z = 0 (перетяжка пучка) минимальный диаметр пучка . Вблизи перетяжки гауссова пучка поверхности постоянной фазы являются плоскими , а в точках их кривизна достигает максимального значения. Центральную область длиной 2Z₀, в которой сечение пучка остается почти постоянным, называют ближней зоной, а область, в которой происходит асимптотическое расширение, - дальней зоной. Распределение интенсивности поля в поперечном и продольном направлениях определяется параметром кривизны q_z.

Основные параметры гауссова пучка, определяемые физическими свойствами лазера, приведены в таблице 2.

Таблица 2

Параметр	Значение	Формула
	Радиус перетяжки, т.е. радиус пучка в плоскости z = 0, в которой световой пучок является плоской волной	, где Rk - конфокальный параметр резонатора
	Радиус пучка, определяемый по уровню 1/е2, в произвольной точке z
	Радиус кривизны поверхности постоянной фазы	=
	Радиус дифракционной расходимости пучка
	Асимптотический угол расходимости пучка
	Комплексный параметр кривизны