1) Оценки для оценки математического ожидания.

– состоятельная несмещенная оценка, (1)

она совпала с выборочным средним, т.е. .

Замечание. Если задан статистический ряд, то . (2)

2) Оценки для дисперсии.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия (3)

Состоятельной и несмещенной оценкой служит исправленная дисперсия: (4)

, где S – выборочное средне квадратическое отклонение. (5)

Замечание. Если задан статистический ряд, то смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия , (6)

несмещенной состоятельной оценкой: . (7)

Замечание. Во избежание громоздких вычислений по формулам (1) – (7) на практике иногда целесообразнее вместо них использовать формулы:

, (8)

Число а находим подбором, исходя из условий задачи.

Примеры.

Пример 1. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины в мм: 4, 5, 8, 9, 11. Найти несмещенную оценку математического ожидания.

Решение.

n = 5. Данная оценка находится по формуле (1): .

Пример 2. В результате измерения некоторой случайной величины (без систематических ошибок) получены следующие результаты в мм: 11, 13, 15. Найти несмещенную оценку дисперсии.

Решение.

n = 3. Данная оценка находится по формуле (4). Чтобы ею воспользоваться, необходимо сначала найти оценку математического ожидания по формуле (1):

Тогда .

Пример 3. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. Результаты измерений представлены в виде таблицы значений:

i	1	2	3	4	5	6	7
xi, в	222	219	224	220	218	217	221

Найти оценки для математического ожидания (среднего) и дисперсии результатов измерений.

Решение.

1) n = 7. Оценка среднего находится по формуле (1): , т.е. в среднем в сети было напряжение вольт.

2) Эту же оценку найдем по первой из формул (8), положив а = 220.

.

3) Оценка дисперсии находится по формуле (4):

Если в результате проведенных n независимых неравноточных измерений случайной величины Х получены ее приближенные значения х₁, х₂,…, х_n , дисперсии которых соответственно равны , то для определения приближенного значения математического ожидания следует пользоваться оценкой, которая является несмещенной, состоятельной и эффективной, а именно:

, где вес i – го измерения. (9)

Пример. Проводились измерения специальной меры длины. Результаты измерений приведены в таблице. Известно, что дисперсии погрешностей измерений по приборам имели следующие значения: . Оценить отклонение действительного размера меры от номинального ее размера.

№ измерения	Отклонение от номинального размера, мк.
	Прибор № 1	Прибор № 2	Прибор № 3	Прибор № 4
1	10,3	10,8	9,9	11,3
2	10,5	11,2	10,6	11,1
3	–	10,7	–	10,4
Сумма	20,8	32,7	20,5	32,8