Глава 13. Математическая статистика

Определение. Математической статистикой называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.

Одна из основных прикладных задач мат. статистики – определение методов обработки опытных данных.

Типичные задачи математической статистики:

1. Оценка на основании результатов измерений неизвестной функции распределения.

Постановка задачи: в результате независимых испытаний над случайной величиной Х получены следующие ее значения х₁, х₂,…, х_n. Требуется приближенно оценить неизвестную функцию распределения F(x).

2. Оценка неизвестных параметров распределения.

Постановка задачи: пусть случайная величина Х имеет функцию распределения F(x) определенного вида, зависящую от k неизвестных параметров. Требуется на основании опытных данных оценить значения этих параметров.

3. Статистическая проверка гипотез.

Постановка задачи: пусть на основании некоторых соображений можно считать, что функция распределения Х есть F(x). Ставятся вопросы: совместимы ли наблюдаемые значения с гипотезой, что Х действительно имеет распределение F(x), не опровергают ли опытные данные гипотезу, что параметры F(x) имеют предположенные значения.

П. 1. Генеральная совокупность и выборка

Пусть требуется исследовать какой-нибудь признак, свойственный большой группе (N штук) однотипных элементов, например, вес N изделий, размеры N деталей и т.п.

Определение 1. Совокупность значений признака всех N элементов данного типа, где N велико, т.е. , называется генеральной совокупностью.

Если совокупность содержит очень большое число элементов, то провести сплошное ее обследование физически невозможно, а иногда и практически не имеет смысла (обследование связано с уничтожением предметов, например, проверка электроники на длительность работы). В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число элементов и подвергают их изучению.

Определение 2. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных элементов из генеральной совокупности.

Определение 3. Объемом выборки называется количество элементов выборки – .

Выборочный метод заключается в том, что из генеральной совокупности берется выборка объема n ( ), и определяются характеристики выборки, которые принимаются в качестве приближенных значений соответствующих характеристик всей генеральной совокупности. То есть на основании изучения характеристик выборки делают вывод о всей генеральной совокупности. Естественно, что при этом результаты обследований, составляющие выбору, должны быть независимыми.

При выборочное распределение приближается к генеральному.

Этапы обработки выборки: 1. составление вариационного ряда. 2. составление эмпирического закона распределения. 3. поиск параметров, от которых зависит закон распределения.

П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд

Пусть изучается случайная величина Х, закон распределения которой неизвестен. Сделана выборка , над которой производится ряд опытов, результаты которых могут быть записаны в виде рядов – вариационного и статистического.

Определение 3. Вариационным рядом выборки х₁, х₂,…, х_n называется упорядоченная последовательность различных значений из выборки, расположенных в порядке возрастания:

, где .

, где – порядок элемента по возрастанию.

Определение 4. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки.

Пример 1. Записать в виде вариационного ряда выборку 4, 2, 6, 9, 4, 4, 1, 9, 6, 1, 6, 6, 3, 1, 3 и определить ее объем и размах.