2.3 Элементы теории погрешностей
Получаемые расчетными методами результаты обычно содержат погрешности. Это вызывается рядом объективных причин. В данном случае нас интересуют те причины, которые будут связаны с методами вычислений. Такие погрешности называются вычислительными. Познакомимся с основными типами погрешностей и правилами работы с ними.
Пусть А-точное
значение некоторой величины,
-
известное приближение к нему, т.е.
приближенное значение величины А.
Обозначим
или
.
Число А
принято называть точным
числом, а
его приближение
-
приближенным
числом.
Например, в соотношениях
число
-
является точным;
числа 3,14; 3,142 – приближенные.
Разность
или (
)
между точным и приближенным значениями
величины называется погрешностью
значения
(но не А).
Так как эта разность
может иметь разный знак, а степень
точности приближения не зависит от
знака и ее удобно характеризовать с
помощью неотрицательных чисел, вводится
понятие абсолютной
погрешности:
.
Знак (
)
свидетельствует о том, что погрешность
между А
и
не больше
(но может быть и
меньше). Действительно, совершенно
неважно
или
.
Главное - насколько
они отличаются.
Абсолютная
погрешность дает ценную информацию о
неизвестном точном значении А:
оно находится от известного приближения
(
)
на расстоянии, не большем, чем
.
Можно записать:
.
Следовательно,
найдя приближенное значение
и его абсолютную погрешность
,
узнаем, что точное
значение А
располагается на отрезке
,
но где точно - ответить на этот вопрос
нельзя. Отклонение
;
называется относительной погрешностью. Она позволяет оценить точность несопоставимых чисел. Часто используют соотношения:
.
Если известна
абсолютная погрешность
приближенного
значения а,
то а
называется приближением
к А с точностью до
.
Когда говорят,
что надо получить результат с заданной
точностью ε,
это означает, что его абсолютная
погрешность
не должна быть
больше ε.
Все цифры дробной части (десятичной) записи числа, начиная с первой ненулевой цифры слева, называются значащими цифрами этого числа. Нули в конце числа всегда считаются значащими, в противном случае их не пишут. Например, числа 0,5020 и 0,05020 имеют одинаковые значащие цифры: 5; 0; 2; 0. Абсолютную погрешность не следует записывать с большим количеством значащих цифр. Основной информацией, содержащейся в ней, является значение первой ненулевой цифры и десятичный разряд, в котором эта цифра расположена (например, ± 0,004, ±0,0001).
В практике вычислений, производимых с приближенными числами, неизбежно возникает вопрос о влиянии погрешностей исходных чисел на погрешность конечного результата. Рассмотрим эту проблему подробнее.
Предположим, что вычисляется сумма С приближенных чисел Аi , т.е.
,
где
.
Искомую сумму можно записать так:
,
или
,
где
,
.
Итак, при сложении (вычитании) приближенных чисел результат является также приближенным числом, у которого абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей всех слагаемых.
Относительная погрешность суммы рассчитывается следующим образом:
.
Следует обратить внимание на то, что погрешность каждого слагаемого имеет знак (±), тем не менее при вычислении суммы (или разности приближенных чисел) погрешности слагаемых всегда записываются со знаком (+), но погрешность суммы ∆с будет иметь знак (±).
Правило расчета погрешности произведения (деления) приближенных чисел следующее. Если ищется результат произведения, например, двух приближенных чисел
,
где
,
,
то первоначально можно получить значение только относительной погрешности произведения
,
и только вторично - значение абсолютной погрешности произведения
.
Эти выводы можно распространить на любое количество сомножителей. Действительно, если находится произведение приближенных чисел
,
где
,
,
,
то
,
где
,
.
При умножении приближенных чисел результат будет иметь относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей сомножителей, а абсолютная погрешность произведения должна вычисляться через относительную по общему правилу.
Из последнего правила можно, как частный случай произведения, получить зависимости для расчета погрешности при возведении приближенного числа в степень (равно как и вычислении корня из приближенного числа). Действительно, если вычисляется
,
где
,
,
тогда
.
Учитывая, что
,
а
,
запишем
,
,
.