ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ––––––––––––––––––––– ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ” ––––––––––––––––––––– Кафедра “Персональные компьютеры и сети” КАДИЕВ А.М. Казанов Ю.К. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ Учебное пособие Москва 2010

УДК 681.513.001.

ББК 32.81

Ч 45

Рецензенты:

Профессор, к.т.н. Миронов А.С.

Профессор, д.т.н. Фандеев Е.И.

Кадиев А.М., Казанов Ю.К.

Математические основы программирования: учебное пособие.- М.: МГУПИ, 2010.- 50 с. Табл. 7 Ил.8. Библиограф.: 6 назв.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Информационная и вычислительная техника» по специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», при самостоятельной работе по дисциплине «Математические основы программирования».

Пособие включает два раздела, имеющих самостоятельное значение. Первый раздел посвящен основам линейного и динамического программирования, которые в дальнейших учебных курсах развиваются в достаточном для практики объеме. Второй раздел посвящен источникам погрешностей, неизбежно возникающих при обработке информации с применением цифровых ЭВМ. Приведенные в нем материалы частично повторяют некоторые разделы курса «Информатика», но рассматриваются с позиций теории погрешностей и точности представления и переработки информации при существенном расширении источников их возникновения.

 Кадиев А.М., Казанов Ю.К., 2010

 МГУПИ, 2010

Содержание

1. Линейное программирование и симплекс-метод………………………….4

1.1. О математических методах в программировании……………………….4

1.2. Моделирование…………………………………………………………….4

1.2.1. Этапы создания математической модели………………………………4

1.2.2. Разновидности задач математического моделирования

и подходов к их решению……………………………………………….5

1.3. Линейное программирование (ЛП) как метод решения

задач математического моделирования………………………………….6

1.4. Динамическое программирование……………………………………….12

2. Погрешности обработки информации на ЭВМ…………………………..17

2.1. Системы счисления……………………………………………………….17

2.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую…………………21

2.3. Элементы теории погрешностей………………………………………….25

2.4. Формы представления чисел в машине…………………………………..29

2.5. Системная классификация счета………………………………………….32

2.5.1. Вычисление квадратного корня из числа………………………………34

2.5.2. Вычисление тригонометрических функций……………………………37

2.5.3. Оценка погрешности при вычислениях с применением ряда…………39

2.5.4. Влияние формата числа и его вида на погрешность…………………...41

2.6. Повышение точности вычислений путем оптимизации алгоритма…….42

2.7. Анализ алгоритмов…………………………………………………………43

Список рекомендуемой литературы………………………………………….. 49

1 Линейное программирование и симплекс-метод

1. О математических методах в программировании

Исследование различных процессов начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения, при этом составляются уравнения или неравенства, которые связывают различные показатели (переменные) исследуемого процесса, образуя систему ограничений. В этих соотношениях выделяются такие переменные, меняя которые можно получить оптимальное значение основного показателя данной системы (прибыль, затраты). Соответствующие методы, позволяющие решать указанные задачи, объединяются под общим названием «математическое программирование» или «математические методы исследования операций». Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, транспортные задачи и т.д.

1.2 Моделирование

1.2.1 Этапы создания математической модели

Под моделированием понимают два различных процесса: создание модели и работа с созданной моделью, ее исследование и изучение с целью получения требуемых результатов и выводов. В зависимости от моделей и целей исследования моделирование может быть: предметным, физическим, математическим, имитационным. Для применения количественных методов исследования объектов необходимо использовать математическое моделирование.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики. Процесс математического моделирования делится на четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих объекты модели.

Следует ответить на три вопроса:

- чем управляем в модели (указать набор параметров);

- как управляем (определить допустимое множество изменения параметров);

- зачем управляем (сформулировать цель построения модели).

2. Исследование математической задачи с целью применения математических методов и компьютера.

3. Выяснение адекватности построенной модели с изучаемым явлением. Решается задача с входными данными и решение сравнивается с выходными данными.

4. Модернизация модели. Усовершенствование модели в связи с появлением новых данных об исследуемом явлении, с развитием вычислительной техники. Возникает необходимость построения новой, более совершенной модели.

1.2.2 Разновидности задач математического моделирования и

подходов к их решению

Различные задачи математического программирования, возникающие в практической деятельности, делятся на классы:

- детерминированные задачи;

- задачи в условиях неопределенности;

- однокритериальные задачи;

- многокритериальные задачи.

Перечисленные задачи решаются специальными методами. Во всех задачах вычисляется критерий оптимальности или показатель эффективности. Критерием оптимальности является целевая функция, поставленная на максимум или минимум. Показателем эффективности может быть прибыль, количество сэкономленных средств, снижение себестоимости продукции, транспортных расходов и т.п.

Предположим, что тем или иным способом математическая модель задачи построена. Она позволяет вычислить целевую функцию при любом принятом решении для любых ограничений и условий. Если условия и ограничения заранее известны и решение зависит от нашего выбора, то такие задачи называют детерминированными. Детерминированную задачу можно математически сформулировать так: при заданных условиях найти такое решение, при котором целевая функция обращалась бы в максимум или минимум. Детерминированные задачи имеют исходные данные и решения в условиях определенности.

На практике чаще встречаются задачи, когда не все условия известны заранее и содержат неопределенность. Это задачи в условиях неопределенности или стохастические задачи. Математически они формулируются так: при заданных условиях с учетом неизвестных факторов найти такие решения, при которых по возможности целевая функция обращалась в максимум или минимум.

Стохастические задачи имеют исходные данные в виде случайных величин, и решение принимается в условиях неопределенности. Решение, принятое в таких условиях на основе математических расчетов, лучше, чем выбранное наобум, но хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. В стохастических задачах неизвестные факторы - случайные величины. Они усредняются и заменяются математическими ожиданиями и тогда задача становится детерминированной.

Критерий эффективности берется усредненным показателем (средний доход, средняя себестоимость и т. д. ). По нему задачи подразделяют на однокритериальные (одна целевая функция) и многокритериальные (несколько целевых функций). По виду целевой функции и системы ограничений задачи выбирается математический метод для ее решения.