Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кемеровский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+++ТВиМС 2011 +ВСЕ+книга+30стр.doc

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2019

Размер:

770.05 Кб

Скачать

☆

Самостоятельная работа № 1

1-30 Непосредственный подсчёт вероятностей. (Вариант N, Задача N)

Из партии изготовленных шестерён, среди которых 20 годных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 8 штук. Определить вероятность того, что среди них будет 3 бракованных.
В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу 3 деталей все детали нестандартные.
На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Карточки тщательно перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «РЕКА»?
Из карточек с буквами А, Б, В, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?
Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковые цифры, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.
В ящике 12 писем, из них 7 иногородних и 5 городских. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 3 писем все письма будут городскими?
В партии из 20 телефонов 3 неисправных. Какова вероятность того, что из двух случайно взятых аппаратов оба будут хорошими?
Ребёнок играет с разрезной азбукой (33 буквы). Определить вероятность того, что при случайном вынимании 7 букв и расположении их в ряд он получит слово «самолёт».
Из 10 билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов оба выигрышных.
Слово «интеграл» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу случайно берут 4 карточки и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «игра»?
Абонент забыл последнюю цифру телефона и поэтому набирает её наудачу. Какова вероятность того, что он сразу позвонит нужному лицу? Какова эта вероятность, если он вспомнит, что последняя цифра нечётная?
Имеется 5 букв разрезной азбуки К, Л, О, О, С. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд получится «КОЛОС»?
Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпадет герб?
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали разные цифры?
Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали одинаковые цифры?
Подсчитать вероятность того, что в выбранном наудачу телефонном номере, содержащем 4 цифры, все цифры различны. Предполагается, что номером может быть любое четырёхзначное число, начиная с 0001.
Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число.
Каждая из букв Т, М, Р, О, Ш написана на одной из 5 карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово «ШТОРМ»?
На столе лежат 36 экзаменационных билетов с номерами от 1 до 36. Преподаватель берёт любые 3 билета. Какова вероятность того, что они из первой четвёрки?
Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путём жеребьёвки распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность того, что 9 лучших команд попадут в одну группу?
Какова вероятность того, что три друга попадут в комиссию, состоящую из трёх человек, если комиссию можно избрать из 10 человек?
Из 10 собранных узлов карданной передачи 2 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу двух узлов оба высокого качества.
В партии содержится 70 деталей, из которых 10 нестандартных. Какова вероятность того, что среди извлечённых наугад 7 деталей две нестандартные?
Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо?
В пачке 20 перфокарт с номерами от 101 до 120, расположенными в случайном порядке. Перфоратор наудачу извлекает две перфокарты. Определить вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.
Ящик содержит 100 деталей, из которых 10 нестандартных. Определить вероятность того, что среди трёх наудачу взятых из ящика деталей нет нестандартных.
Профессор вызвал через старосту на консультацию трёх студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трёх отстающих студентов. Определить вероятность того, что староста послал именно тех студентов, которых вызвал профессор.
Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на 5 карточках. Наудачу последовательно вынимают 3 карточки и раскладывают слева направо в порядке появления. Какова вероятность того, что получится число 324?
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь две окрашенные грани?

Самостоятельная работа № 2

31-60 Основные теоремы теории вероятностей (сложения, умножения, формулы полной вероятности и Байеса) (Вариант N, Задача N+30)

Два токаря обрабатывают одинаковые детали. Вероятность брака первого - 0,03; второго - 0,04. Обработанные детали складываются в одно место. Причём первый токарь изготавливает деталей в 2 раза больше, чем второй. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной?
Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него две одинаковые детали. Берёт он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся две уменьшенного размера против номинала. Механизм не будет работать, если обе установленные детали окажутся уменьшенного размера. Найти вероятность того, что механизм будет работать.
Процесс изготовления детали состоит из нескольких операций. После первой и второй операции производится контроль качества, и при обнаружении брака деталь отбрасывается. Вероятность того, что деталь окажется бракованной после первой операции равна 0,02, а после второй - 0,1. Определить вероятность того, что деталь окажется отбракованной до третьей операции.
Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей -5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадёт в сборную института, равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?
Через остановку возле вокзала проходят трамваи маршрутов 5, 6, 7, 8. Пассажир ждёт трамвай 6 или 7. Известно, что среди 45 трамваев, идущих через эту остановку, шесть трамваев маршрута номер 6 и девять маршрута номер 7. Найти вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута. (Предполагается равновероятным появление любого трамвая).
На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная двумя Цехами фабрики, причём 20 % пряжи составляет продукция цеха № 2, а остальная - цеха № 1. Продукция цеха № 1 содержит 90%, а цеха № 2 - 70 % пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался первого сорта. Определить вероятность того, что моток является продукцией цеха № 1.
Производится бомбометание по 3 складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад - 0,01; во второй - 0,008; в третий - 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
Рабочий обслуживает три станка, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего?
Из 60 вопросов, входящих в билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?
В ящике лежит 10 заклёпок, отличных друг от друга только материалом: 5 - железных, 3 - латунных, 2 - медных. Наугад берут две заклёпки. Какова вероятность того, что они будут из одного материала?
На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведённые двумя заводами. Среди них 70 % изготовлены первым заводом и 30 % - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведённых первым заводом, 90 штук удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведённых вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 штук. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта.
В электрическую цепь последовательно включены приборы А₁, и А₂, не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора А₁, равна 0,1, а прибора А₂ - 0,2. Цепь выключается, если выйдет из строя хотя бы один прибор. Найти вероятность выхода из строя цепи.
Из 25 кинескопов, имеющихся в телевизионном ателье, 5 штук произведены заводом № 1, 12 штук - заводом № 2 и 8 штук - заводом № 3. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный заводом № 1,в течение гарантийного срока не выйдет из строя, равна 0,95. Для кинескопа завода № 2 такая вероятность равна 0,9, а для кинескопа завода № 3 - 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.
Для разрушения моста достаточно одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет взорван, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания, соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Прибор может быть собран из высококачественных деталей или изделий обычного качества. 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надёжность за время Т равна 0,95, а если из деталей обычного качества, то - 0,7. Прибор испытывался в течение времени Т и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превышает заданную точность.
Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем, четвёртом справочниках, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0.9. Найти вероятность того, что формула содержится не более чем в трёх справочниках.
Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике, - 0,6. во втором - 0,7, в третьем - 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в двух справочниках; б) во всех трёх справочниках.
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,3, для второго - 0,5, для третьего - 0,6. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.
В электрическую цепь последовательно включены приборы А₁, и А₂, не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора А₁, равна 0,1, а прибора А₂ - 0,2. Цепь выключается, если выйдет из строя хотя бы один прибор. Найти вероятность того, что цепь будет работать.
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 - с вероятностью 0,7; 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок?
Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком 0,8; вторым - 0,7. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют одновременно.
Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Определить вероятность непопадания в мишень.
В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей наудачу.
Радиолампа принадлежит к одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что наудачу взятая радиолампа проработает заданное число часов.
Вероятность того, что стрелок выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков -0,2; 8 очков - 0,2; 7 очков - 0,1; 6 или менее - 0,1. Найти вероятность того, что стрелок выбьет не менее 8 очков.
Для трёх аппаратов вероятность остановки в течение 1 часа составляет: для первого - 0,2; для второго - 0,15; для третьего - 0,12. Какова вероятность того, что все три аппарата будут бесперебойно работать в течение 1 часа.
В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что каждый из двух приобретённых билетов окажется выигрышным.
Химический завод получает сырьё из трёх рудников. Причём сырьё доставляется из каждого рудника в среднем одинаково часто. Для завода желательно получить очередную партию сырья либо из первого, либо из второго рудника. Найти вероятность этого события.
Из полного набора костей домино (28 штук) наугад берут две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

Самостоятельная работа № 3

61-90 Повторные испытания (Формулы Бернулли, Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа.) (Вариант N, Задача N+60)

Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз.
30% изделий предприятия - продукция высшего сорта. На испытание взято 6 изделий. Какова вероятность того, что из них более одного изделия высшего сорта?
Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 изделий более чем одно не выдержит испытание.
Всхожесть семян растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдёт не менее трёх.
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий хотя бы одно не выдержит испытание.
Два равносильных противника играют в шахматы. Какова вероятность того, что один из них выиграет не менее двух партий из четырёх?
Счётчик Гейгера регистрирует частицы, вылетающие из некоторого радиоактивного источника, с вероятностью 0,0001. За время наблюдения из источника должно было вылететь 30000 частиц. Найти вероятность того, что счётчик зарегистрировал хотя бы одну частицу.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.
Вероятность позвонить любому абоненту на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят четыре абонента?
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено более одного изделия.
Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз.
Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно три бракованных книги.
Найти вероятность того,, что событие А (переключение передач) наступит 70 раз на 243 - километровой трассе, если вероятность переключения передачи на каждом километре этой трассы равна 0,25.
Прибор состоит из 10 узлов. Надёжность (вероятность безотказной работы в течение некоторого времени Т) для каждого узла равна р. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за время Т откажет только один узел.
При массовом производстве шестерён вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых шестерён 50 будут бракованными?
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
Вероятность появления события за время испытания 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз при 100 испытаниях.
Станок - автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.
Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме при включённом приводе в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что от 70 до 85 станков проработают всё рабочее время?
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
При разгрузке бананов обнаруживается 2 % брака. Определить вероятность того, что из 9 проверенных ящиков в пяти не будет брака.
Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка в любой день с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что поступят заявки в один день от 3 магазинов.
Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход энергии в течение четырёх суток не превысит нормы.
Работают 10 станков. Вероятность включения станка равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент включено 6 станков.
Известно, что вероятность выпуска свёрл повышенной хрупкости равна 0,02. Свёрла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что в коробке число бракованных свёрл окажется не более трёх?
Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт на 5 веретенах.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.
Вероятность того, что деталь не пройдёт проверку, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенными окажутся от 70 до 100 деталей.
В партии изделий 5 % бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 изделий будет 2 бракованных?

Самостоятельная работа № 4

91-120 Дискретные случайные величины (законы распределения, числовые характеристики). (Вариант N, Задача N+90)

Два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же цель. Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,6; для второго - 0,5. Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий в мишень. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины X - числа библиотек, которые посетит студент в поиске книги, если в городе три библиотеки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
В шестиламповом радиоприёмнике перегорела одна лампа. Для её поиска используют годную лампу, заменяя ей наудачу выбранную лампу и сразу проверяя работу радиоприёмника. В случае неудачи проверяемую исправленную лампу оставляют в радиоприёмнике и маркируют во избежание повторной проверки. Составить закон распределения случайной величины X - числа заменённых ламп. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Вероятность производства бракованной детали 5 %. Для контроля из проверяемой партии одно за другим берутся изделия до тех пор, пока не будет обнаружен брак, но не более трёх. Составить закон распределения случайной величины X - числа деталей, взятых для проверки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Игральная кость брошена три раза. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений шестёрки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
На пути движения автобуса четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автобусу дальнейшее движение. Составить закон распределения случайной величины X - числа светофоров, пройденных автобусом до первой остановки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Имеется 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При ввинчивании в патрон дефектная лампа сразу перегорает, и тогда ввинчивается следующая. Составить закон распределения случайной величины X - числа ввинченных ламп. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадёт или пока не кончатся патроны. Составить закон распределения случайной величины X - числа выстрелов, если вероятность попадания 0,25. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки, - 0,9; второй - 0,8; третий - 0,7. Составить закон распределения случайной величины X - числа станков, которые в течение часа не потребуют регулировки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Монету подбрасывают три раза. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений герба. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
У дежурного в гостинице в кармане 5 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть двери комнаты. Составить закон распределения случайной величины X - числа опробованных ключей для открывания двери, если опробованный ключ не кладётся обратно в карман. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Составить закон распределения случайной величины X - числа попаданий в мишень при трёх выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 2/3. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Срок службы шестерён коробок передач зависит от следующих факторов: усталости материала в основании зуба, контактных напряжений и жёсткости конструкции. Вероятность отказа каждого фактора в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины X - числа отказавших факторов в одном испытании. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Проводится три испытания. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений события при этих испытаниях. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
На участке 3 станка, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа работающих станков при нормальном ходе производства. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины X - числа отказавших элементов в одном опыте. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X -числа нестандартных деталей среди трёх отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
В партии из 10 деталей 2 нестандартные. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
На пути движения электропоезда, везущего вагонетки с углём, три стрелки. В случае возникновения аварийной ситуации стрелки переводятся, и электропоезд останавливается. Вероятность возникновения аварийной ситуации равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины X - числа остановок электропоезда. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Конвейер, состоящий из трёх звеньев, имеет в местах соединения звеньев аварийный выключатель. В случае аварийной ситуации он срабатывает с вероятностью 0,9 и конвейер останавливается. Составить закон распределения случайной величины X - числа сработанных аварийных выключателей. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Охотник, имеющий три патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует все три патрона. Составить закон распределения случайной величины X - числа израсходованных патронов при условии, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Производится испытание трёх приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надёжным. Составить закон распределения случайной величины X - числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,9. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Стрелок ведёт стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 3 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа патронов, оставшихся неиспользованными. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
В партии из 6 деталей 3 нестандартные. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений события А в трёх опытах. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Двое рабочих обрабатывают по одной детали независимо друг от друга. Вероятность изготовления годной детали для первого рабочего 0,9; для второго - 0,8. Составить закон распределения случайной величины X - числа годных деталей, изготовленных рабочими. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Отобрано 3 диода случайным образом. Составить закон распределения случайной величины X - числа небракованных диодов среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Рабочий обслуживает три станка. Каждый станок в течение смены останавливается по какой-либо причине с вероятностью 0,2. Составить закон распределения случайной величины X - числа остановок станков. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Вероятность появления бракованной детали, изготовляемой станком - автоматом, равна 0,01. Наудачу отобрано две детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа небракованных деталей среди отобранных. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Автомобиль встретит 3 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Составить закон распределения случайной величины X - числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Самостоятельная работа № 5

121-150. Непрерывные случайные величины (функция распределения, плотность распределения, числовые характеристики) (Вариант N, Задача N+120)

Случайная величина X задана функцией распределения ( интегральной функцией) F(x).

Найти:

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию;

в) вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (a,b), то есть P (a<X<b).

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

Самостоятельная работа № 6

151-180. Закон нормального распределения. (Вариант N, Задача N+150)

Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a и средним квадратичным отклонением . Записать плотность распределения f(x) и построить ее график. Найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (,).

151. а = 3,  = 2,  = 2,  = 4.

152. а = 10,  = 2,  = 12,  = 14.

153. а = 20,  = 5,  = 15,  = 25.

154. а = 4,  = 1,  = 4,  = 5.

155. а = 7,  = 3,  = 5,  = 8.

156. а = 3,  = 4,  = -1,  = 3.

157. а = 1,  = 5,  = -3,  = 4.

158. а = 5,  = 4,  = 2,  = 5.

159. а = 2,  = 1,  = 1,  = 3.

160. а = 4,  = 3,  = 2,  = 5.

161. а = 6,  = 5,  = 3,  = 10.

162. а = 8,  = 4,  = 5,  = 10.

163. а = 5,  = 3,  = 2,  = 6.

164. а = 7,  = 1,  = 7,  = 8.

165. а = 1,5,  =0,5 ,  = 1,  = 1,5.

166. а = 1,9,  = 0,1,  = 1,8,  = 1,9.

167. а = 9,  = 1,  = 8,  = 9.

168. а = 5,  = 4,  = 2,  = 7.

169. а = 3,  = 3,  = 1,  = 5.

170. а = 7,  = 2,  = 6,  = 8.

171. а = 10,  = ,  = 2,  = 12.

172. а = 9,  = 5,  = 5,  = 14.

173. а = 8,  = 1,  = 4,  = 9.

174. а = 7,  = 2,  = 3,  = 10.

175. а = 6,  = 3,  = 2,  = 11.

176. а = 5,  = 1,  = 1,  = 12.

177. а = 4,  = 5,  = 2,  = 11.

178. а = 3,  = 2,  = 3,  = 10.

179. а = 2,  = 5,  = 4,  = 9.

180. а = 2,  = 4,  = 6,  = 10.

Самостоятельная работа № 7

1-30 (Вариант N, Задача N)

Задача 1. На 30 предприятиях определяли производительность труда (случайная величина Х) и стаж работы (случайная величина Y) пятидесяти рабочих различной квалификации, выполняющих однородные операции. Результаты хронометражных наблюдений приведены в табл. 7. Для решения задачи необходимо выписать столбец Y и по номеру первой задачи контрольной работы №9 столбец Х. По имеющимся данным количественного признака Х необходимо:

a)составить интервальный вариационный ряд;

б) вычислить выборочную среднюю ( );

в) вычислить выборочную дисперсию ( (X);

г) вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение ( ).

Задача 2. Построить теоретическую кривую нормального распределения по данным первой задачи. Проверить по критерию согласия Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости = 0,05.

Задача 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью = 0,95 по значениям , , n (обьем выборки), полученным в первой задаче.

Задача 4. Установить, значимо или незначимо отличаются выборочные средние и , найденные по выборкам объемов n = 50 и m = 60, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Z с дисперсиями D(X) и D(Z). Величины , D(X) определены в результате решения первой задачи (D(X)= (X)), а , D(Z) приведены ниже для каждого из вариантов. Другими словами, требуется при уровне значимости = 0,05 проверить нулевую гипотезу : М(Х) = М(Z), при конкурирующей гипотезе : М(Х) М(Z).

1. = 80, D(Z) = 360.

2. = 50, D(Z) = 120.

3. = 60, D(Z) = 140.

4. = 40, D(Z) = 140.

5. = 60, D(Z) = 220.

6. = 40, D(Z) = 90.

7. = 60, D(Z) = 200.

8. = 5, D (Z) = 2.

9. = 35, D(Z) = 80.

10. = 55, D(Z) = 230.

11. = 45, D(Z) = 250.

12. = 7, D(Z) = 10.

13. = 15, D(Z) = 12.

14. = 10, D(Z) = 3.

15. = 5, D (Z) = 6.

16. = 8, D(Z) = 1.

17. = 8, D(Z) = 0,6.

18. = 3, D(Z) = 5.

19. = 24, D(Z) = 30.

20. = 1, D(Z) = 0,02.

21. = 18, D(Z) = 14.

22. = 16, D(Z) = 20.

23. = 13, D(Z) = 3,6.

24. = 0,7, D(Z) =0,01.

25. = 30, D(Z) = 32.

26. = 2, D(Z) = 0,2.

27. = 18, D(Z) = 24.

28. = 10, D(Z) = 5.

29. = 5, D(Z) = 1.

30. = 20, D(Z) = 16.

Задача 5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х ( производительность труда, 3-й столбец ) и Y (стаж работы, 2-й столбец), выписанными из табл. 7. Найти выборочное уравнение прямой регрессии. Построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

Вопросы к экзамену по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

События (достоверные и невозможные, случайные, противоположные, зависимые и независимые несовместные, равновозможные).
Определение события. Операции над событиями и их свойства.
Зависимые и независимые события. Связь независимости и несовместности.
Относительная частота наступления событий ее свойства.
Вероятностное пространство. Пространство элементарных исходов.
Аксиомы Колмогорова.
Классическое определение вероятности.
Свойства вероятности событий.
Геометрическая вероятность. Геометрическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность. Задача о встрече. Задача Бюффона.
Перестановки. Формула числа перестановок.
Сочетания. Вывод формулы числа сочетаний. Треугольник Паскаля.
Размещения. Формула числа размещений.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
Теорема умножения вероятностей.
Условная вероятность. Формулы условной вероятности.
Формула полной вероятности (с доказательством)
Теорема гипотез (формула Байеса с доказательством).
Схема Бернулли. Повторение испытаний. Независимые испытания. Формула Бернулли.
Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний.
Полная группа событий. Формулы полной вероятности и Байеса.
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Простейший (пуассоновский) поток событий. Формула Пуассона.
Понятие случайной величины.
Случайные величины (непрерывные и дискретные).
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Операции над случайными величинами. Основные свойства.
Сходимость случайных величин.
Случайные числа, разыгрывание случайной величины.
Функция распределения. Свойства функции распределения.
Плотность распределения. Свойства плотности распределения.
Математическое ожидание случайной величины. Свойства с доказательством.
Математическое ожидание события А в n независимых испытаниях.
Мода, медиана, квантиль порядка р.
Дисперсия случайной величины. Ср. квадратическое отклонение. Свойства с доказательством.
Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях.
Моменты случайной величины (начальный, центральный, абсолютный моменты).
Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Правило трех сигма.
Центральная предельная теорема. Основной смысл теоремы.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева и ее следствия. Основной смысл теоремы.
Многомерные (двумерные) случайные величины. Матрица распределения.
Функция распределения системы случайных величин.
Плотность распределения системы случайных величин.
Условное математическое ожидание случайной величины.
Ковариация и коэффициент корреляции. Их свойства.
Выборочный метод. Совокупность, выборка, способы отбора.
Варианта, эмпирическая функция распределения, диаграммы представления.
Статистические гипотезы.

Вопросы, которые могут быть дополнительными

Классическое определение вероятности.
Основные комбинаторные формулы: n!, C_n^k, A_n^k, n^k — что они вычисляют.
Аксиоматическое определение вероятности.
Свойства вероятности, вытекающие из аксиом.
Определение независимости двух событий. Свойства независимых событий.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Понятие схемы Бернулли. Формула Бернулли.
Определение случайной величины. Определение функции распределения. Её свойства.
Определение дискретного и абсолютно непрерывного распределения. Свойства плотности распределения. Основные распределения.
Определения независимости случайных величин.
Определение и свойства математического ожидания.
Определение и свойства дисперсии.
Определение и свойства ковариации и коэффициента корреляции.
Центральная предельная теорема.

Словарь – справочник основных терминов случайные события

1 СОЕДИНЕНИЯ

Различные группы, составленные из каких либо объектов.

2 ЭЛЕМЕНТЫ

Объекты, из которых составлены соединения.

3 ПЕРЕСТАНОВКИ

Соединения, каждая из которых содержит элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

Число всех перестановок из элементов обозначается символом .

Число всех перестановок из элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до включительно:

4 РАЗМЕЩЕНИЯ

Соединения, в каждое из которых входит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Число размещения из элементов по обозначается символом .

Число всевозможных размещений из элементов по равно произведению последовательных чисел натурального ряда, наибольшим из которых является :

5 Сочетания из элементов по

Соединения, в каждой из которых входит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются только элементами (хотя бы одним).

Число различных сочетаний из элементов по обозначается символом .

Число всевозможных сочетаний из элементов по равно частному отделения произведения последовательных чисел, натурального ряда наибольшее из которых равно , на произведение последовательных натуральных чисел от 1 до включительно, т.е.

6 ОПЫТ (ИСПЫТАНИЕ, ЭКСПЕРИМЕНТ)

Наблюдение какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий.

7 СОБЫТИЕ

Результат (исход) опыта. Обозначение: Например: выстрел, произведенный из орудия по цели – испытание. Попадание в цель или промах – событие.

8 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СОБЫТИЯ

Возможные исключающие друг друга исходы опыта. Множество всех элементарных событий, связанных с данным опытом, называется пространством элементарных событий. Каждое событие есть множество элементарных событий.

9 НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ

Событие, которое не может произойти в результате данного опыта.

Например: загорание лампочки при отсутствии тока в электрической цепи.

10 ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ

Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

Например: смена дня и ночи.

11 СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

Событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Например: выигрыш в лотерее.

12 НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ

События, при которых, появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например: промах и попадание в цель при одном выстреле.

13 СОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ

События, которые в результате опыта могут появиться одновременно.

Например: промах и попадание при двух выстрелах.

14 ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ

Группа событий, таких, что в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них (т.е. появление хотя бы одного из них в результате опыта является достоверным событием).

15 ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ

Два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать через .

Например: попадание и промах при одном выстреле.

16 РАВНОЗНАЧНЫЕ (РАВНОВОЗМОЖНЫЕ) СОБЫТИЯ

События, возможность появления которых в результате опыта одинакова.

Например: появление герба или цифры при бросании монеты.

17 СУММА (ОБЪЕДИНЕНИЕ) ДВУХ СОБЫТИЙ и

Событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий.

Обозначение: , или .

18 ПРОИЗВЕДЕНИЕ (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ) СОБЫТИЙ и

Событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Обозначение: , или .

Произведение нескольких событий – это событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

19 РАЗНОСТЬ СОБЫТИЙ и

Событие, состоящее в появлении события и не появлении события .

Обозначение: , или .

20 ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Обозначение: - вероятность события .

Пусть – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события ; – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Тогда вероятность события определяется формулой:

21 Относительная частота события

Отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Относительная частота события определяется формулой:

где – число появлений события, – общее число испытаний.

Примечание. Вероятность события вычисляют до опыта, а относительную частоту ─ после опыта.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Относительная частота или число, близкое к ней.

23 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

24 НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

События и называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

25 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже наступило.

Обозначение: , или .

26 ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

Вероятность суммы несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий:

27 ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема 1.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

, или .

Теорема 2.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

28 ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

29 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события , которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события :

(формула полной вероятности),

где .

30 ФОРМУЛА БАЙЕСА

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , которые образуют полную группу событий. Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

31 ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), равна

или ,

где .

32 ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше ):

, где

, .

33 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Вероятность того, что в независимых событиях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит не менее раз и не более раз, приближенно равна:

где

- функция Лапласа,

, .

Случайные величины

34 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Величина, которая в результате опыта в зависимости от различных, случайных обстоятельств может принимать различные числовые значения.

Например: курс доллара, температура воздуха в наугад взятый день и т. д.

35 ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга на числовой оси значения.

36 НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Случайная величина, которая может принимать все числовые значения, сплошь заполняющие некоторый промежуток на числовой оси.

37 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

38 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Величины, характеризующие основные особенности распределения случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

39 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ дискретной случайной величины

Сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

40 ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

41 СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Корень квадратный из дисперсии случайной величины:

42 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Такая функция , которая определяется для каждого значения случайной величины как вероятность выполнения неравенства , т.е.

Геометрически это равенство понимается так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

43 ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Функция распределения непрерывной случайной величины.

44 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ непрерывной случайной величины

Функция – первая производная от функции распределения :

Функцию также называют дифференциальной функцией распределения.

45 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ непрерывной случайной величины

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат отрезку , то математическое ожидание случайной величины определяется формулой:

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат всей числовой оси, то математическое ожидание случайной величины определяется формулой:

46 ДИСПЕРСИЯ непрерывной случайной величины

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат отрезку , то дисперсия случайной величины определяется формулой:

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат всей числовой оси, то дисперсия случайной величины определяется формулой:

47 РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность распределения которой сохраняет постоянное значение на всем интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины.

48 ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью распределения в виде:

где – постоянная положительная величина.

Системы случайных величин

50 ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Случайная величина, возможные значения которой определяются двумя числами.

Обозначение: .

51 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ двумерной случайной величины

Соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями двумерной случайной величины и соответствующими им вероятностями.

52 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ двумерной случайной величины

Функция , определяющая для каждой пары значения случайной величины и значения случайной величины вероятность того, что примет значение, меньшее , и при этом примет значение, меньшее :