Следствия теоремы косинусов!

1. Если c^2=a^2+b^2 значит треугольник прямоугольный  2. Если с^2 меньше a^2+b^2 то угол острый. Если С наибольшая сторона, то треугольник остроугольный  3. Если c^2 больше a^2+b^2 то угол тупой  4. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.  p.S. Под углом понимается угол между а и в  Знак ^ - знак степени

2 Билет.

1. Два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.

Свойство: Вертикальные углы равны.

Теорема о вертикальных углах.

Если две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Несмежные углы называютсявертикальными или противоположно вертикальными углами. Также, каждая пара прилегающих углов образует прямую, а эти углы называются смежными^[1]. Поскольку каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, то градусные меры вертикальных углов — равны.

2. Треуго́льник — это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Если сумма углов треугольника равна 180^о, то такой треугольник называется развернутым.

• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Теорема Синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.    Доказательство.  Пусть есть Δ ABC со сторонами a, b, с и углами α, β, γ.  Докажем, что  Проведем из точки С высоту CD. Тогда из Δ ACD получим:    Если угол α тупой, то    Из Δ BCD получаем    Аналогично получаем    Теорема доказана.

Следствие

 Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

.

3. билет.

1. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями другой, называются смежными.

Следствия

1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

2. Если смежные углы равны, то они прямые.

3. Угол, смежный с прямым углом, прямой.

4. Угол, смежный с тупым углом, острый.

5. Угол, смежный с острым углом, тупой.

6. Если угол неразвернутый, то его градусная мера меньше 180°.

2) Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов).

Теорема Пифагора

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c. 

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c. В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c. Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

3. билет.