1 Билет.

1.   I. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.           II. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.           III. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

2. Треуго́льник — это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки. 

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Если сумма углов треугольника равна 180^о, то такой треугольник называется развернутым.

• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.

• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

• Формулировка теоремы косинусов:

• Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение: 

• 

• квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними. 

• Доказательство теоремы косинусов:

• 

• Рассмотрим треугольник ABC.  Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.   

• Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, то величину стороны AD можно найти из соотношения тригонометрических функций :    AD / AC =   cos α  AD = AC  cos α  AD = b cos α 

• Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:  BD = AB - AD  BD = c − b cosα      Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:    CD² + BD² = BC²  CD² + AD² = AC²  откуда  CD² = BC²  - BD²  CD² = AC² -  AD²

• Поскольку левые части уравнений равны, то приравняем правые части уравнений:  BC²  - BD² =  AC² -  AD² 

• подставим значения сторон (a,b,c)   a²  - (  c − b cos α  )²  =  b² -  ( b cos α  )²   a²  = (  c − b cos α  )²  +  b² -  ( b cos α  )²   a²  =   b² + c ²  - 2bc cos α +  ( b cos α  )²   -  ( b cos α  )²  a²  =   b² + c ²  - 2bc cos α          Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.   

Второй способ решения задачи. Координатный метод.

1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату. Решение записывают все учащиеся.
2. Запишем координаты точек: B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA). 3. Найдём квадрат стороны BC: BC2 = a2 = (bcosA - c)2 + (bsinA)2 = = b2cos2A – 2bccosA + c2 + b2sin2A = = b2(cos2A + sin2A) + c2 – 2bccosA = = b2 + c2 – 2bccosA. a2 = b2 + c2 – 2bccosA – теорема косинусов  b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = b2 + a2 – 2abcosC	Рис. 5

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.