2.6. Про деякі тригонометричні рівняння

Дуже корисним під час розв'язування деяких тригонометричних

рівнянь частіше використовувати одиничне коло. Мова йде не тільки про

рівняння

,

але й про рівняння виду

(1)

Ці рівняння можна розв'язати багатьма способами. Але розв'язок цього рівняння за допомогою одиничного кола – один з способів, що дозволяє знайти відповідь усно. Кожному з рівнянь ( 1) на інтервалі задовольняє два з чотирьох чисел : що відповідають точкам одиничного кола. Ці числа знаходять усною перевіркою, потім записують загальний розв'язок. Інших розв'язків немає,так як для всякої іншої точки , відмінної від указаних , і по модулю рівні довжинам катетів трикутника, довжина гіпотенузи якого дорівнює 1, і за властивістю сторін ні одна з рівностей (1) неможливе.

Наприклад, рівнянню на проміжку задовольняють числа і 0.

Відповідь. .

За допомогою цього методу можуть бути розв'язані і більш складніші рівняння, наприклад,

де .

2.7 Застосування похідних до розв'язування рівнянь

Розглянемо декілька типів рівнянь, в яких використовуються похідні. Серед них рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має розв'язок те чи інше рівняння. Ці рівняння зводяться до знаходження екстремальних значень функції або до знаходження їх областей значень.

Приклад 1. При якому значенні має розв'язки рівняння

.

Розв'язання. Область визначення даного рівняння – інтервал . Розглянемо на ній функцію f :

Тоді на інтервалі

,

так що 8/3 єдина критична точка функції f , яка є дотого ж точкою максимум, оскільки f (2) = 2, f (4) = , f (8/3) = . Отже, f приймає найбільше значення при х = 8/3, а найменше значення – при х = 4. Так як функція f неперервна, то її область значень є інтервал між її найбільшим і найменшим значенням, тобто дане рівняння має розв'язок , якщо .

Відповідь.

Приклад 2. Скільки розв'язків має рівняння ?

Розв'язання. Область визначення даного рівняння – інтервал . Розглянемо на цьому інтервалі функцію f

Тоді .

 

Враховуючи область визначення, маємо . Таким чином, функція f зростаюча, так що дане рівняння не може мати більше одного розв'язку.

З іншого боку, взявши будь – яке велике значення х, наприклад,

х = 200, маємо так що f як неперервна функція приймає всі значення між і , в тому числі і значення 4. Відповідь. Рівняння має лише 1 корінь.

Приклад 3. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. ОДЗ: . Побудувавши графіки функцій і ми помітили б , що рівняння має два корені. Безпосереднім підбором і перевіркою, знаходимо , що коренями рівняння є х = 0 і х = 2. За допомогою похідної можна довести, що інших коренів немає.

Розглянемо функцію і покажемо що в неї лише одна критична точка, тобто ця функція має лише 2 інтервали ( зростання і спадання) , отже має 2 корені, які ми вже знайшли.

існує на всій області визначення( )

Відповідь.

2.8 Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів.

В шкільному курсі алгебри і початків аналізу проходить знайомство з теоремою Вейєрштраса: якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю.

Розглянемо як дана теорема застосовується до розв'язування рівнянь з нескінченним числом квадратних коренів.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності :

Так як другий доданок співпадає з лівою частиною початкового рівняння, то

Відповідь. 42

Приклад 2. Розв'язати рівняння .

Піднесемо в квадрат обидві частини рівності, одержимо

Ще раз підносимо до квадрата

Оскільки другий доданок дорівнює 3, знайдемо

Можна також чергувати корені різного порядку. Наведемо приклади такого роду.

Приклад 3.