2.9. Розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

Для розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше використовуються такі методи: за означенням модуля, піднесенням до квадрату лівої і правої частини, метод інтервалів. Але можна розв'язувати ці рівняння, використовуючи формулу відстані між двома точками координатної прямої.

Розглянемо цей прийом на прикладі

На числовій прямій потрібно знайти точки, сума відстаней яких від точок

х = - 5 і х = 8 дорівнює 16. Позначимо через у відстань, на якій знаходиться точка зліва від точки х = 5, одержимо допоміжне рівняння у + (у + 13) = 16 або у = 1,5, тобто х₁ = - 6,5.

 

В середині інтервалу точок, що задовольняють рівняння, немає. Справа від точки х = 8 на відстані, що дорівнює 1,5, знаходиться друга точка, що задовольняє рівняння : х₂ = 9,5.

Відповідь.

Використовуючи числову пряму можна встановити, що рівняння виду , де , якщо має 2 корені, причому ці корені знаходяться поза інтервалом . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів, причому розв'язком є інтервал . Якщо рівняння коренів немає.

Розглянемо приклади розв'язання рівнянь, що містять різницю модулів.

.

На числовій прямій потрібно знайти різницю відстаней яких до точок х = - 4 і х = 2 дорівнює 5. Так як відстань між точками х = - 4 і х = 2 дорівнює 6, то шукана точка знаходиться в середині інтервалу .

 

Позначимо через у відстань від шуканої точки до точки х = - 4, одержимо

у – ( 6 - у) = 5, або у = 5,5, тобто х = 1,5.

Відповідь.

Порівнюючи відстань між точками числової прямої, легко встановити, що рівняння виду має один розв'язок, якщо ; в цьому випадку шукана точка знаходиться внутрі інтервалу . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів. Якщо рівняння коренів не має.

В тих випадках, коли коефіцієнти при х відмінні від 1, їх можна винести за знак модуля, а потім розв'язувати рівняння прийомом, поданим вище. Наприклад, рівняння запишемо у вигляді

На числовій прямій потрібно знайти точки, відстань яких від точки

х = 3 були в 4 рази менші, ніж від х = 5.

1) Нехай шукана точка знаходиться поза інтервалом зліва від точки

х = 3 на відстані у , тоді маємо рівняння 4у = у + 2, у =2/3, тобто х = .

2) Нехай шукана точка знаходиться внутрі інтервала на відстані z від точки 3, тоді маємо рівняння : 4z = 2 – z, звідки z = 2/5 , а х = .

Поза інтервалом справа від х = 5 рівняння коренів не має.

Відповідь.

Отже, розв'язуючи рівняння , що містять змінну під знаком модуля, вже на початковому етапі, склавши допоміжне рівняння, ми ще до розв'язання рівняння встановлюємо, в яких проміжках потрібно шукати корені і скільки коренів має рівняння.

Розглянемо ще два такі рівняння :

Приклад 1.

Рівняння можна переписати так :

.

Так як , то розв'язком рівняння є весь інтервал .

Приклад 2. .

Маємо рівняння , яке має 2 корені : .

Відповідь.

Розділ 3

3. Характерні помилки, що допускаються при розв'язуванні рівнянь.

Як свідчить практика, труднощі, з якими зустрічаються учні та абітурієнти під час розв'язування рівнянь, виникають в першу чергу із-за невміння інтенсивно, зосереджено працювати. Не маючи достатнього досвіду в розв'язуванні рівнянь, вони не вкладаються в відведений час, не встигають проаналізувати всі запропоновані і реалізовані методи розв'язування.

Відомо, що багато рівнянь допускають декілька різних прийомів розв'язання. Можна дати будь-яке правильне розв'язання. Хоч бажання знайти найбільш короткий і красивий шлях розв'язання вельми природне, відшукання такого шляху в умовах уроку чи під час зовнішнього оцінювання не можливо, тому що це може зайняти багато часу. Тому краще до кінця довести нехай довге, але надійне розв'язування. Крім того поспішність часто приводить до досадних арифметичних помилок, плутаниці знаків, описок і т.п. , що приводить до помилкової відповіді, хоч нерідко хід розв'язання був правильним. Хоча, якщо ви знаєте як розв'язати рівняння коротшим шляхом,і впевнені в його правильності, то чому б не зекономити час.

Відсутність чіткого уявлення про рівносильність рівнянь часто приводить до загублених коренів в процесі розв'язання рівнянь, або до одержання сторонніх коренів. Часто ліва і права частина рівняння множиться на спільний множник, що містить змінну, але якщо не врахувавши при цьому , що коли цей множник в області допустимих значень (ОДЗ) змінної перетворюється в нуль , то таке множення приводить до загублених коренів. Особливо часто ця помилка зустрічається під час розв'язування тригонометричних рівнянь.

Головна мета при розв'язуванні ірраціональних рівнянь - це позбутися ірраціональності. Вона досягається двома способами : піднесенням обох частин рівняння до відповідного степеня або заміною. Перший спосіб застосовується частіше, хоча останній часто значно спрощує перетворення.

Розв'язуючи ірраціональні рівняння, потрібно пам'ятати, що :

а) перевірка одержаних значень для невідомого в загальному випадку являється обов'язковою частиною розв'язку, так як при піднесенні в парну степінь обох частин рівняння можуть з'явитися сторонні корені;

б) в багатьох випадках сторонні корені можуть належати ОДЗ невідомого в початковому рівнянні, тому є помилкою винесення в відповідь усіх розв'язків рівняння, що належать ОДЗ, без їх перевірки. Взагалі кажучи, перевірку здобутих розв'язків потрібно робити при розв'язанні будь-яких рівнянь, якщо це пов'язано з виконанням складних перетворень. Наприклад, у рівнянні знаходження ОДЗ цього рівняння пов'язане з розв'язуванням систем ірраціональних нерівностей, тому в даному випадку цього робити не потрібно. Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо : . Піднісши ще двічі до квадрату остаточно дістанемо квадратне рівняння 9x² - 64x – 64 = 0, корені якого , .

Перевіркою встановлюємо, що - сторонній корінь.

Під час розв'язання показникових рівнянь допускаються помилки , які свідчать про недостатні знання правил дій над степенями , властивості показникової функції.

Значне число помилок при розв'язуванні логарифмічних пояснюється нетвердими знаннями властивостей логарифмічної функції, правил логарифмування і потенціювання. Потрібно враховувати, що логарифмування, ділення, множення рівнянь на вирази, що містять невідомо величину, може привести до звуження ОДЗ і , а це означає до загублених коренів. Виключити сторонні корені можна перевіркою, знайти загублені корені складніше.

В багатьох немає чіткого уявлення про те, в яких випадках потрібно перевірка при розв'язуванні рівнянь, а в яких ні. Потрібно пам'ятати, що призначення перевірки - відкинути сторонні корені, які частіше всього проявляються при:

1)скороченні дробів на множники, що містять змінну.

Наприклад, скоротивши на (х+2) дробову частину рівняння і розв'язуючи його, одержимо х=-2 – це сторонній корінь;

2)взаємне спрощення подібних членів, що містить змінну в знаменнику дробу, під знаком радикалу, чи під знаком логарифма. Наприклад , відкинувши - і , під час розв'язання рівняння , одержимо , звідки знайдемо , (нуль тут сторонній корінь);

3) піднесення обох частин рівняння в парну степінь: , звідси чи = 0. Тоді , (тут один сторонній корінь);

4) потенціювання обох частин рівняння, наприклад, lgх+lg(x+21)=2, звідси х(х+21)=100 і тоді =4 , =-25.В даному випадку -25 –сторонній корінь.

Сторонні корені з'являються при розширенні ОДЗ невідомого, що входить в рівняння. Виявити їх можна перевіркою . Таким чином, процес розв'язання будь-якого рівняння потребує уважного аналізу. Під час переходу до кожного наступного запису рівняння потрібно вияснити, чи рівносильне це нове рівняння попередньому. Якщо ні, то до чого приведе перетворення.

― до появи сторонніх коренів (в цьому випадку в кінці роботи необхідна перевірка всіх визначених значень х) чи до загубленого кореня ( тоді зразу ж проаналізувати, які корені губляться і включити їх в кінцеву відповідь).